Eenheidswortel

De 3e eenheidswortels zijn

${\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}$ of ook ${\displaystyle \left\{1,e^{\frac {2i\pi }{3}},e^{\frac {-2i\pi }{3}}\right\}}$.

Een element ${\displaystyle \zeta \in R}$ noemt men een ${\displaystyle n}$-de eenheidswortel, als aan een van beide gelijkwaardige voorwaarden wordt voldaan:

• ${\displaystyle \zeta ^{n}=1}$
• ${\displaystyle \zeta }$ is een nulpunt van de polynoom ${\displaystyle x^{n}-1}$

Een ${\displaystyle n}$-de eenheidswortel ${\displaystyle \zeta }$ wordt primitief genoemd, als ${\displaystyle \zeta ^{k}\neq 1}$ voor ${\displaystyle k=1,\ldots ,n-1}$.

Er zijn ${\displaystyle n}$ verschillende ${\displaystyle n}$-de eenheidswortels, die geschreven kunnen worden als:

${\displaystyle \zeta ^{k}\qquad (k=1,2,3,\dots ,n)}$

waarin ${\displaystyle \zeta }$ een primitieve ${\displaystyle n}$-de eenheidswortel is.

De primitieve ${\displaystyle n}$-de eenheidswortels zijn die ${\displaystyle \zeta ^{k}}$, waar ${\displaystyle k}$ en ${\displaystyle n}$ relatief priem zijn.

Het complexe getal

${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i/n}}$

is een ${\displaystyle n}$-de eenheidswortel, aangezien

${\displaystyle \zeta ^{n}=(e^{2\pi i/n})^{n}=e^{2\pi i}=1}$

De ${\displaystyle n}$-de eenheidswortels in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vormen een subgroep van de vermenigvuldigingsgroep ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$, die vaak met ${\displaystyle \mu _{n}(\mathbb {R} )}$ wordt aangegeven.

• Machtsverheffen
• Identiteit van Euler
• Cirkelgroep
• Dirichlet-karakter

• Lang, Serge, Algebra, revised 3rd edition. Springer-Verlag, New York (2002). ISBN 0-387-95385-X.
• Milne, James S., Algebraic Number Theory. Course Notes (1998).
• Milne, James S., Class Field Theory. Course Notes (1997).
• Neukirch, Jürgen, Class Field Theory. Springer-Verlag, Berlin (1986). ISBN 3-540-15251-2.
• Washington, Lawrence C., Cyclotomic fields, 2nd edition. Springer-Verlag, New York (1997). ISBN 0-387-94762-0.