Cirkelgroep

De cirkelgroep is gedefinieerd als het paar ${\displaystyle (\mathbb {T} ,\,\cdot )}$ met:

${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$

en de vermenigvuldiging als bewerking.

De cirkelgroep vormt een deelgroep van ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$, de multiplicatieve groep van alle complexe getallen behalve 0. Aangezien ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ een abelse groep is, is ook ${\displaystyle \mathbb {T} }$ abels.

De notatie ${\displaystyle \mathbb {T} }$ voor de cirkelgroep komt van het woord torus aangezien ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ (het directe product van ${\displaystyle n}$ factoren ${\displaystyle \mathbb {T} }$) meetkundig gezien kan worden als een ${\displaystyle n}$-torus. De cirkelgroep is dan een 1-torus.

De cirkelgroep speelt een centrale rol in de Pontryagin-dualiteit en in de theorie van Lie-groepen.

Optelling op de cirkelgroep

De cirkelgroep is in essentie een voorbeeld van het modulair rekenen, dus rekenen module een getal. Bij de cirkelgroep gaat het om het optellen van hoeken kunnen, als alleen hoeken tussen de 0° en 360° zijn toegestaan, dus modulo 360°. Het diagram hiernaast illustreert hoe men 150° optelt bij 270°. Het antwoord moet zijn dat 150° + 270° = 420°, maar bij het denken in termen van de cirkelgroep, vergeten we dat we de cirkel al eenmaal zijn rondgedraaid en corrigeren we hiervoor, zodat het antwoord altijd in het interval van 0° tot 360° ligt. Het antwoord wordt 420° - 360° = 60°.

De cirkelgroep is meer dan alleen maar een abstracte algebraïsche groep. De cirkelgroep heeft een natuurlijke topologie wanneer zij wordt beschouwd als een deelruimte van het complexe vlak. Sinds vermenigvuldiging en inverteren continue functies zijn op ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$, heeft de cirkelgroep de structuur van een topologische groep. Aangezien de eenheidscirkel bovendien een gesloten deelverzameling van het complexe vlak is, is de cirkelgroep is een gesloten deelgroep van ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ (die zelf ook als een topologische groep wordt beschouwd).

Men kan zelfs nog verder gaan. De cirkel is een eendimensionale reële variëteit en vermenigvuldiging en invertering zijn analytische functies op de cirkel. Dit geeft de cirkelgroep de structuur van een eendimensionale Lie-groep. In feite, op isomorfisme na, is het de unieke eendimensionale compacte, samenhangende Lie-groep. Bovendien is elke ${\displaystyle n}$-dimensionale compacte, samenhangende, abelse Lie-groep isomorf met ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$.

In deze sectie willen de topologische structuur van de cirkelgroep vergeten en alleen naar de algebraïsche structuur kijken.

De cirkelgroep ${\displaystyle \mathbb {T} }$ is een deelbare groep. De torsiedeelgroep wordt gegeven door de verzameling van alle ${\displaystyle n}$-de eenheidswortel voor alle ${\displaystyle n}$, en is isomorf met ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$. De structuurstelling voor deelbare groepen vertelt ons dat ${\displaystyle \mathbb {T} }$ isomorf is met de directe som van ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ met een aantal kopieën van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Het aantal kopieën van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ moet ${\displaystyle c}$ (de kardinaliteit van het continuüm) zijn, anders is de kardinaliteit van de directe som niet correct. Maar de directe som van ${\displaystyle c}$ kopieën van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ is isomorf met ${\displaystyle \mathbb {R} }$, aangezien ${\displaystyle \mathbb {R} }$ een vectorruimte van dimensie ${\displaystyle c}$ over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ is. Dus

${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

Het isomorfisme

${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

kan op dezelfde manier worden bewezen, als ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ook een deelbare abelse groep is, waarvan de torsiedeelgroep dezelfde is als de torsiedeelgroep van ${\displaystyle \mathbb {T} }$ is.

• Cyclische groep
• Unitaire groep
• Orthogonale groep