Begrensdheid

In de meetkunde heet een deelverzameling ${\displaystyle V}$ van het vlak of de ruimte begrensd als er een bovengrens ${\displaystyle D}$ bestaat voor alle onderlinge afstanden tussen punten van ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle \exists D\in \mathbb {R} ,\forall x,y\in V:d(x,y)\leq D}$

De verzameling van dergelijke getallen ${\displaystyle D}$ vormt een gesloten halve rechte, en het minimum van die rechte is de diameter van ${\displaystyle V}$.

Bovenstaande definitie maakt geen gebruik van de bijzondere vorm van de afstandsfunctie van de Euclidische ruimte, en gaat dus ongewijzigd over op willekeurige (pseudo-)metrische ruimten.

Een reële functie ${\displaystyle f}$ heet begrensd als haar waardebereik (beeld) een begrensde deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is, t.t.z. als er getallen ${\displaystyle m<M}$ bestaan zodat ${\displaystyle \forall x:m\leq f(x)\leq M}$. De kleinst mogelijk bovengrens ${\displaystyle M}$ heet supremum van ${\displaystyle f}$, de grootst mogelijke ondergrens ${\displaystyle m}$ is het infimum van ${\displaystyle f}$.

Deze definitie van begrensdheid gaan ongewijzigd over op willekeurige afbeeldingen tussen een verzameling ${\displaystyle A}$ en een (pseudo)metrische ruimte ${\displaystyle X}$.

In een lokaal convexe topologische vectorruimte wordt de topologie voortgebracht door een scheidende familie seminormen. Elke seminorm brengt een pseudometriek ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ voort. In dergelijke ruimten zijn de volgende twee voorwaarden op een deelverzameling ${\displaystyle A}$ gelijkwaardig:

• ${\displaystyle A}$ is begrensd in elk van de pseudometrische ruimten afzonderlijk;
• Voor elke omgeving ${\displaystyle V}$ van de nulvector bestaat een schaalfactor ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{+}}$ zodat ${\displaystyle A\subset \alpha V}$.

De tweede voorwaarde heeft nog zin in algemene topologische vectorruimten, en geldt daar als definitie van begrensdheid.

Een lineaire afbeelding ${\displaystyle T:V\to W}$ tussen twee topologische vectorruimten ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ (operator) heet begrensd als ze begrensde delen van ${\displaystyle V}$ afbeeldt op begrensde delen van ${\displaystyle W}$.

Als ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ Banachruimten zijn, dan is dit gelijkwaardig met de eis dat ${\displaystyle T}$ continu is. In het algemeen is elke continue lineaire operator begrensd, maar niet omgekeerd.

Als het domein van een functie de structuur van een maatruimte ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}},\mu )}$ draagt, zijn we geïnteresseerd in de vraag of de functie begrensd is "op een nulverzameling na". Men noemt een functie ${\displaystyle f:A\to \mathbb {C} }$ essentieel begrensd als er een begrensde functie bestaat waaraan ze bijna overal gelijk is:

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf _{N\in {\mathcal {A}},\mu (N)=0}\sup _{\omega \in \Omega \setminus N}|f(\omega )|<\infty .}$

Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van ${\displaystyle f}$. Het is het supremum van de absolute waarde van ${\displaystyle f}$ op eventuele nulverzamelingen na. Equivalentieklassen van essentieel begrensde functies vormen de ruimte ${\displaystyle L^{\infty }}$ (zie Lp-ruimte).