Bovengrens en ondergrens

In de wiskunde is een bovengrens of majorant van een deelverzameling $S$ van een partieel geordende verzameling $V$ een element $g\in V$ waarvoor geldt dat $x\leq g$ voor alle $x\in S$ . Als er een bovengrens is van $S$ , heet $S$ een naar boven begrensde deelverzameling van $V$ .

Op analoge wijze is een ondergrens of minorant van $S$ gedefinieerd als een element $k\in V$ waarvoor geldt dat $x\geq k$ voor alle $x\in S$ . Als er een ondergrens is van $S$ , heet $S$ een naar onder begrensde deelverzameling van $V$ .

In de analyse geldt eveneens dat een bovengrens van een functie $f:A\to B$ een getal $g$ is, waarvoor geldt dat $f(x)\leq g$ voor alle $x\in A$ . Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens: $f(x)\geq k$ voor alle $x\in A$ .

Een functie met een bovengrens heet ook naar boven begrensd. Een functie met een ondergrens heet naar onder begrensd. Een begrensde functie heeft zowel een ondergrens als een bovengrens.

Verwante begrippen

Maximum en minimum

Indien er voor een deelverzameling $S$ van een partieel geordende verzameling $V$ een element $M\in S$ bestaat zodanig dat $M\geq x$ voor alle $x\in S$ , dan heet $M$ het maximum van $S$ . Het maximum $M$ dient dus een bovengrens van $S$ te zijn en tevens tot $S$ te behoren. Men noteert: $M=\max(S)$ .

Analoog is $m\in S$ een minimum van $S$ , indien voor alle $x\in S$ geldt dat $m\leq x$ . Hier is $m$ dus een ondergrens die tot de verzameling behoort. Men noteert: $m=\min(S)$ .

Supremum en infimum

De kleinste bovengrens van $S$ wordt het supremum $\sup(S)$ van $S$ genoemd. In feite is het supremum van $S$ het minimum van de verzameling van de majoranten van $S$ :

\sup(S)=\min\{x\in V\mid s\leq x,{\text{ voor alle }}s\in S\}

Analoog wordt de grootste ondergrens van $S$ het infimum $\inf(S)$ van $S$ genoemd. Het infimum van $S$ is het maximum van de verzameling van de minoranten van $S$ :

\inf(S)=\min\{x\in V\mid x\leq s,{\text{ voor alle }}s\in S\}

Eigenschappen

Laat $S$ een deelverzameling zijn van een partieel geordende verzameling $V$ .

Als $\max(S)$ bestaat, is dit maximum gelijk aan $\sup(S)$ .
Als $\min(S)$ bestaat, is dit minimum gelijk aan $\inf(S)$ .
Als $S$ niet naar boven begrensd is, zegt men wel dat $\sup(S)=+\infty$ .
Als $S$ niet naar onder begrensd is, zegt men wel dat $\inf(S)=-\infty$ .
Als $S\neq \varnothing$ en $S$ is naar boven (resp. onder) begrensd, dan heeft $S$ een supremum (resp. infimum).

Voorbeelden

Neem de deelverzameling $S=\{1,2,3,9\}$ van $\mathbb {R}$ ; dan is bijvoorbeeld 12 een bovengrens van $S$ , aangezien voor ieder getal $x\in S$ geldt dat $x\leq 12$ . Overigens is 9 het supremum en tevens het maximum.
Beschouw de volgende verzamelingen (zie ook interval)

$S$	$\max(S)$	$\sup(S)$	$\min(S)$	$\inf(S)$
$[0,1]$	1	1	0	0
$(0,1)$	-	1	-	0
$\mathbb {R}$	-	$+\infty$	-	$-\infty$
$\{{\tfrac {1}{n}}\|n\in \mathbb {N} ^{+}\}$	1	1	-	0

Neem de functie $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)=4-x^{2}$ . Voor alle $u\in [4,\infty )$ geldt dat $u$ een bovengrens is van $f$ . De functie heeft geen minimum, maar er geldt wel dat $\max(f)=\sup(f)=4$ .

Zie ook

Relatieve chronologie (boven- en ondergrens van een onbekend tijdstip)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.