Dirac-maat
In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Dirac-maat, δx, op een verzameling X (met enige σ-algebra van deelverzamelingen van X) de maat, die de singleton (x) de maat 1 geeft, dit voor een gekozen element x ∈ X:
In het algemeen wordt de maatregel gedefinieerd door
voor enige meetbare verzameling A ⊆ X.
De Dirac-maat is een waarschijnlijkheidsmaat en vertegenwoordigt in termen van waarschijnlijkheid de bijna zekere uitkomst x in de steekproefruimte X. We kunnen ook zeggen dat de maat een enkel atoom op x is. De Dirac-maat behandelen als een atomaire maat is echter niet juist, wanneer we de volgordelijke definitie van de Dirac-delta, als de limiet van een delta-volgorde beschouwen. De Dirac-maten zijn de extreme punten van de convexe verzamelingen van de waarschijnlijkheidsmaten op X.
De naam is een afleiding van de Dirac-deltafunctie, beschouwd als een Schwartz-verdeling, bijvoorbeeld de reële lijn; maten kunnen worden gezien als een bijzondere vorm van distributie. De identiteit
die, in de vorm
vaak als een onderdeel van de definitie van de "delta-functie" wordt gezien, geldt als een stelling van Lebesgue-integratie.
Eigenschappen van een Dirac-maat
Laat δx een, op enig vast punt x gecentreerd zijnde, Dirac-maat in enige meetbare ruimte (X, Σ) aanduiden.
- δx is een waarschijnlijkheidsmaat, en dus een eindige maat.
Veronderstel dat (X, T) een topologische ruimte is en dat Σ ten minste zo "fijn" is als de Borel σ-algebra σ(T) op X.
- δx is dan en slechts dan een strikt positieve maat als de topologie T zodanig is dat x binnen elke open verzameling ligt, dat wil zeggen: in het geval van een triviale topologie {∅, X}.
- Aangezien δx een waarschijnlijkheidsmaat is, is het ook een lokaal eindige maat.
- Als X een Hausdorff-ruimte is met haar Borel σ-algebra, dan voldoet δx aan de conditie dat het een inwendige regelmatige maat is, aangezien de singleton verzamelingen, zoals {x}, altijd compacte ruimtes zijn. δx is dus ook een Radon-maat.
- Ervan uitgaande dat de topologie T "fijn" genoeg is dat {x} gesloten is, wat het geval is in de meeste toepassingen, dan is de drager van δ x {x} (anders is supp(δx) de afsluiting van {x} in (X, T)). Verder is δx de enige waarschijnlijkheidsruimte die door {x} wordt gedragen.
- Als X een n-dimensionale Euclidische ruimte Rn is met haar gebruikelijke σ-algebra en n-dimensionele Lebesgue-maat λn, dan is δx een singuliere maat met betrekking tot λn: deel Rn op in A = Rn \ {x} en B = {x} en wordt gewaar dat δx(A) = λn(B) = 0.