Afstand (wiskunde)

Een metriek of afstand op een verzameling ${\displaystyle V}$ is een afbeelding ${\displaystyle d:V\times V\to \mathbb {R} }$ die aan de volgende axioma's voldoet.

Voor willekeurige ${\displaystyle x,y,z\in V}$ geldt:

${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$ (niet-negativiteit).

${\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$ (scheidingseigenschap).

${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (symmetrie).

${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (de driehoeksongelijkheid).

Voor twee elementen ${\displaystyle x,y\in V}$ is ${\displaystyle d(x,y)}$ de afstand van ${\displaystyle x}$ tot ${\displaystyle y}$. Het axioma van symmetrie zegt dat de afstand van ${\displaystyle x}$ tot ${\displaystyle y}$ gelijk is aan de afstand van ${\displaystyle y}$ tot ${\displaystyle x}$, zodat men eenvoudig van de afstand tussen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ kan spreken. De axioma's garanderen verder dat twee verschillende elementen geen afstand 0 kunnen hebben. De driehoeksongelijkheid laat zien dat de weg over een derde punt niet korter kan zijn dan de directe weg.

Als de scheidingseigenschap wordt afgezwakt door "slechts dan" weg te laten, heet ${\displaystyle d}$ een pseudometriek. In dat geval kunnen er elementen zijn die van elkaar verschillen, maar toch een (pseudo)afstand 0 tot elkaar hebben.

Een belangrijk voorbeeld van een metriek op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is de gewone metriek (de euclidische afstand):

${\displaystyle d_{E}(x,y)=\|x-y\|}$,

waarbij voor ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}.}$

Oude isochrone kaart van Melbourne met betrekking tot reizen per spoor, incl. aansluitend lopen

Een speciaal geval van het bovenstaande vormen de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ met:

${\displaystyle d_{m}(x,y)=|x-y|}$ (de modulus van ${\displaystyle x-y}$).

Een ander voorbeeld van een metriek op ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ is de 'Manhattan blokmetriek':

${\displaystyle d_{M}(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|+\ldots +|x_{n}-y_{n}|\,}$.

Deze metriek dankt zijn naam aan het tweedimensionale voorbeeld waarbij men in een stadswijk met een patroon van elkaar loodrecht kruisende straten, volgens de kortste weg van hoekpunt A naar hoekpunt B wandelt.

Meer algemeen kan men bij een netwerk van wegen met tweerichtingsverkeer de afstand tussen twee punten op het netwerk definiëren als de kortste afstand over de weg. Als de snelheid waarmee men zich verplaatst, hoewel eventueel afhankelijk van de positie, steeds in tegenovergestelde richting gelijk is, kan men de "afstand" ook definiëren als de kortste reistijd. Een daarbij behorende sfeer heet een isochroon. Een isochrone kaart toont isochronen ten opzichte van een centraal punt.

Voor een willekeurige verzameling ${\displaystyle V}$ is de afbeelding ${\displaystyle d:V\times V\to \{0,1\}}$ die elk identiek puntenpaar ${\displaystyle (x,x)}$ op 0 afbeeldt, en elk ander puntenpaar op 1, een metriek die de discrete metriek genoemd wordt. Deze metriek geeft in essentie slechts aan of twee elementen verschillend zijn of niet.

Uitgaande van een norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ op een genormeerde vectorruimte ${\displaystyle V}$ kan de volgende metriek worden gedefinieerd:

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

Deze metriek wordt de door de norm geïnduceerde metriek genoemd. Zie bijvoorbeeld (hierboven) de geïnduceerde metriek op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Omgekeerd induceren metrieken die zowel homogeen als translatie-invariant zijn, een norm op een vectorruimte. Een metriek ${\displaystyle d}$ op een vectorruimte ${\displaystyle V}$ heet homogeen, als

${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |\,d(x,y)}$,

en translatie-invariant als

${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$.

Een dergelijke metriek induceert een norm op ${\displaystyle V}$ door de definitie

${\displaystyle \|x\|=d(x,0)}$

Meer algemeen dan hierboven behandeld is een metriek op een abelse groep translatie-invariant als die slechts afhangt van het verschil van de beide elementen. Een dergelijke metriek is geheel bepaald door de afstanden tot 0. Dit kan ook zo worden uitgedrukt dat iedere translatie een isometrie is.

Een ultrametriek is een metriek met een sterkere driehoeksongelijkheid, namelijk

${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}}$ (ultrametrische ongelijkheid).

Een voorbeeld is, voor elk priemgetal ${\displaystyle p}$, de bovengenoemde translatie-invariante metriek van de ${\displaystyle p}$-adische getallen.

Een ander voorbeeld is de bovengenoemde discrete metriek.

Bij (onder meer) een ultrametriek heeft lengte geen duidelijke betekenis, zelfs niet in een eenvoudig eendimensionaal geval, zoals de lengte van een lijnstuk. De afstand van het begin tot het eind is dan niet te interpreteren als de lengte van een kortste route die de som is van de lengtes van delen van de route.

Ook is het zo dat als een punt ligt op een lijnstuk waarvan de uiteinden een kleine afstand tot elkaar hebben, dit niet impliceert dat een punt op het lijnstuk een kleine afstand heeft tot de uiteinden.

Twee metrieken ${\displaystyle d_{1}}$ en ${\displaystyle d_{2}}$ op een verzameling ${\displaystyle V}$ zijn equivalent, als er getallen ${\displaystyle M_{1},M_{2}\in \mathbb {R} }$ bestaan zodat voor alle ${\displaystyle x,y\in V}$ geldt:

${\displaystyle d_{1}(x,y)\leq M_{1}d_{2}(x,y)}$ en ${\displaystyle d_{2}(x,y)\leq M_{2}d_{1}(x,y)}$

Een begrensde metriek is een metriek waarvoor er een ${\displaystyle M>0}$ bestaat zodat

${\displaystyle \forall x,y\in V:d(x,y)\leq M}$

Het axioma ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$ (niet-negativiteit) is strikt genomen niet nodig aangezien het van de drie andere afgeleid kan worden. Stel dat er een strikt negatieve afstand tussen twee elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ bestaat: ${\displaystyle d(x,y)<0}$. Door symmetrie is ook ${\displaystyle d(y,x)<0}$ en is ${\displaystyle d(x,x)=0}$ door de scheidingseigenschap (ook bij pseudometrieken). We kunnen dan een driehoeksongelijkheid bouwen die absurd is: ${\displaystyle d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)}$ (${\displaystyle 0<0}$). Een negatieve afstand is dus niet mogelijk.

De afstand van een punt tot een niet-lege verzameling is de grootste ondergrens van de afstanden van het punt tot de punten van de verzameling.

• Metrische ruimte