P-adische norm
De -adische norm (niet echt een norm), gedefinieerd voor elk priemgetal , is een gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen anders dan de gewone absolute waarde en de triviale. Het belang van de -adische norm ligt in de introductie van -adische getallen. Volgens de stelling van Ostrowski is elke gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen equivalent met de gewone absolute waarde, de triviale, of een -adische norm.
Definitie
Als gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde zijn er bij een gegeven priemgetal voor elk rationaal getal gehele getallen en zo, dat:
en en niet deelbaar zijn door .
De -adische norm van is dan gedefinieerd als:
Daarnaast is
Bij elk rationaal getal zijn er priemgetallen en gehele getallen zo, dat:
- .
Dus is voor
en voor elk ander priemgetal :
Voorbeelden
- De getallen ... -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, ... die niet deelbaar zijn door 5, hebben de 5-adische norm 50 = 1.
- De getallen ... -10, -5, 5, 10, 15, 20, 30, ... zijn deelbaar door 5, maar niet door 25 en hebben dus de 5-adische norm .
- De getallen ... -50, -25, 25, 50, 75, 100, 150, ... hebben de 5-adische norm .
- , vanwege de factor in de noemer.
- Voor geldt:
- voor alle andere priemgetallen p.
- Cauchyrijen
- Of een rij al dan niet een cauchyrij is, hangt af van de gebruikte afstand.
- De reeks is normaal niet convergent, maar in de 5-adische norm wel. De som van de eerste n termen is
- .
- De 5-adische norm van de laatste term is . De 5-adische limiet van deze reeks is gelijk aan .
Niet-archimedisch
De p-adische normen hebben een sterkere ongelijkheid dan de driehoeksongelijkheid:
(de bijbehorende metriek is een ultrametriek).
Uit deze ongelijkheid volgt meteen dat met . Men zegt in dit verband dat de p-adische norm niet-archimedisch is. Een belangrijk gevolg hiervan betreft de convergentie van oneindige reeksen. In , en meer algemeen in elke complete ruimte met een niet-archimedische norm, is een oneindige reeks slechts dan convergent als haar algemene term naar nul gaat. Dit staat in schril contrast met de situatie in , waar de grens tussen convergente en divergente reeksen veel moeilijker te trekken valt.
Eigenschappen
Metriek
De p-adische norm induceert op een p-adische metriek, een ultrametriek, door de afstandsfunctie met isometrische translaties
Beschouwen we de zo geconstrueerde 5-adische metriek, dan convergeert in de rij naar 0, terwijl de rij weliswaar begrensd is, maar geen cauchyrij is, want voor elke is: