Lemniscaat van Bernoulli

De lemniscaat van Bernoulli (Grieks: λημνίσκος, band) is een wiskundige kromme. Ze werd voorgesteld door Jakob Bernoulli in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694). Ze staat model voor het symbool voor oneindig (∞) in de wiskunde.

Definities

Lemniscaat als meetkundige plaats

cartesiaanse vergelijking:

(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})

polaire vergelijking:

r=a{\sqrt {2\cos {2\theta }}}

parametervergelijking met parameter t (eenvoudig uit de polaire vergelijking af te leiden):

x(t)={\frac {a{\sqrt {2}}\cos(t)}{1+\sin(t)^{2}}}

y(t)={\frac {a{\sqrt {2}}\sin(t)\cos(t)}{1+\sin(t)^{2}}}

meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste brandpunten F1 en F2 gelijk is aan het kwadraat van de helft van de onderlinge afstand tussen deze twee vaste punten. (Hiermee is het Lemniscaat van Bernouilli een bijzonder geval van de ovalen van Cassini) - punten: F₁ = (-a,0) en F₂ = (a,0)

|PF_{1}|.|PF_{2}|=a^{2}

Eigenschappen

De bovengedefinieerde lemniscaat heeft een dubbelpunt in de oorsprong.
De oppervlakte van elk der beide door de bovengedefinieerde lemniscaat omsloten gebieden is a².

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.