Samengestelde relatie

In de abstracte verzamelingenleer kan met behulp van twee relaties tussen verzamelingen soms een nieuwe relatie gevormd worden, de samengestelde relatie.

Definitie

Zij $R$ een relatie tussen twee verzamelingen $A$ en $B$ , dus $R$ is een deelverzameling van het cartesisch product $A\times B$ , en $S$ een relatie tussen $B$ en $C$ :

R\subset A\times B,\ S\subset B\times C

De samengestelde relatie van $R$ en $S$ is gedefinieerd als

S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid \exists b\in B:(a,b)\in R{\hbox{ en }}(b,c)\in S\}

De notatie $S\circ R$ wordt soms gelezen als " $S$ (komt) na $R$ ".

Voorbeeld

Beschouw de volgende twee relaties tussen de natuurlijke getallen $\mathbb {N}$ en zichzelf:

R=\{(0,0),(1,2),(2,4)\}

S=\{(0,5),(0,10),(4,2),(4,4)\}

Dan is hun samengestelde relatie

S\circ R=\{(0,5),(0,10),(2,2),(2,4)\}

In dit geval heeft ook $R\circ S$ zin, en

R\circ S=\{(4,4)\}

Verband met transitiviteit

Een relatie $R\subset A\times A$ op een verzameling $A$ is transitief als $R\circ R$ een deel is van $R$ zelf.

Samengestelde afbeelding

Als $f$ een afbeelding is van $A$ naar $B$ , en $g$ is een afbeelding van $B$ naar $C$ , dan is $g\circ f$ een afbeelding van $A$ naar $C$ , samengestelde afbeelding genoemd.

Voorbeeld

Beschouw de reële functies $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x^{2}$ en $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x-1$ . Dan bestaan zowel $g\circ f$ als $f\circ g$ , en

(g\circ f)(x)=g(f(x))=x^{2}-1

(f\circ g)(x)=f(g(x))=(x-1)^{2}

Permutatiegroep

Als $f$ en $g$ permutaties zijn van een gegeven verzameling $A$ , dan is $g\circ f$ dat ook. De verzameling van alle mogelijke permutaties van $A$ vormt met de bewerking $\circ$ een (niet noodzakelijk commutatieve) groep, genoteerd ${\mathcal {S}}(A)$ en genaamd de symmetrische groep op $A$ .

Zie ook

Functiecompositie

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.