Injectie (wiskunde)

In de wiskunde is een injectie of injectieve afbeelding, ook eeneenduidige afbeelding of een-op-eenafbeelding genoemd, een afbeelding, waarbij geen twee (verschillende) elementen hetzelfde beeld hebben, dus anders gezegd elk beeld een uniek origineel heeft.

Een injectieve, niet surjectieve functie

De term 'injectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie

De afbeelding $f:A\to B$ heet een injectie of injectieve afbeelding als voor alle $a,b\in \mathrm {dom} (f)$ geldt:

f(a)=f(b)\Rightarrow a=b

Voorbeeld en tegenvoorbeeld

Beschouw de afbeelding $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , gedefinieerd door $f(x)=2x+1$ . Deze afbeelding is injectief, aangezien uit de gelijkheid van de beelden van $a$ en $b$ : $2a+1=2b+1$ , volgt dat de originelen $a$ en $b$ gelijk zijn.
Beschouw daarentegen de afbeelding $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ , gedefinieerd door $g(x)=x^{2}$ . Deze is niet injectief, omdat bijvoorbeeld $g(1)=g(-1)=1$ en er dus verschillende originelen zijn met hetzelfde beeld.

Eigenschappen

Zijn twee functies $f:A\to B$ en $g:B\to C$ injectief, dan geldt dit ook voor de samengestelde functie $g\circ f:A\to C$ .

Uit de injectiviteit van $g\circ f$ volgt dat $f$ injectief is.

Een functie $f:A\to B$ is injectief dan en slechts dan als voor iedere verzameling $C$ en ieder tweetal functies $h_{1},h_{2}:C\to A$ de implicatie $f\circ h_{1}=f\circ h_{2}\Rightarrow h_{1}=h_{2}$ geldt. Dit betekent dat, in de categorie van verzamelingen en functies, de monomorfismen precies de injectieve functies zijn.

Een functie $f:A\to B$ is injectief dan en slechts dan als zij een linksinverse heeft, dat wil zeggen een functie $g:B\to A$ met de eigenschap dat $g\circ f=id_{A}$ (hier wordt met $id_{A}$ de identiteitsfunctie bedoeld).

Als $f:A\to B$ injectief is, dan is de co-restrictie $f:A\to f(A)$ (dat wil zeggen dezelfde functie, alleen het codomein is vervangen door het beeld $f(A)$ ) bijectief.

Voor twee verzamelingen $A$ en $B$ wordt de notatie $|A|\leq |B|$ wel gebruikt om aan te geven dat er een injectie $f:A\to B$ bestaat. In dit geval heeft $B$ minstens evenveel elementen als $A$ ; voor oneindige verzamelingen wordt dit precies gemaakt met het begrip kardinaliteit. Als er twee injecties $A\to B$ en $B\to A$ bestaan, garandeert de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder dat er eveneens een bijectie tussen $A$ en $B$ bestaat.

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.