Grote getallen

Grote getallen worden doorgaans gebruikt in bepaalde wetenschappen. Specifiek voor dit doel (en voor de representatie van zeer kleine getallen) is de wetenschappelijke notatie bedacht. Hierin worden getallen uitgedrukt als het product van een relatief klein getal, meestal tussen 1 en 10, en een macht van 10. Bijvoorbeeld 3,25 × 10⁹. Dit is 3,25 maal 10 tot de macht 9, ofwel 3,25 maal 1 miljard, ofwel drie-en-een-kwart miljard.

Het zal duidelijk zijn dat 3,25 × 10⁹ een kortere notatie is dan 3 250 000 000. Dit wordt nog duidelijker indien men het betreffende getal vermenigvuldigt met een factor miljoen, wat het getal drie-en-een-kwart biljard oplevert. Ter illustratie nogmaals de wetenschappelijke notatie vergeleken met de "gewone":

3,25 × 10¹⁵ is hetzelfde als 3 250 000 000 000 000.

Een bijkomend voordeel van de wetenschappelijke notatie is dat bij een vergelijking van twee grote getallen veel eenvoudiger te zien is welke van de twee groter is. Indien men bijvoorbeeld de getallen 2 150 387 234 983 543 045 132 en 833 345 924 012 054 200 000 volledig uitschrijft, is het niet onmiddellijk duidelijk welk getal groter is. Als deze getallen waren genoteerd als 2,15 × 10²¹ en 8,33 × 10²⁰ was het in één oogopslag duidelijk geweest door alleen maar te kijken naar de exponent van het getal 10.

Overigens is het zo dat de bovenstaande getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze niet exact gelijk zijn aan de eerder genoemde getallen. Een eigenschap van onze manier van weergave van getallen is dat de cijfers naar rechts steeds minder significant worden, en daarom vaak worden verwaarloosd (lees: worden verondersteld gelijk aan nul te zijn). Het verschil tussen 2 150 387 234 983 543 045 132 en 2,15 × 10²¹ is slechts 0,02%.

Het schrijven van machten van tien is weleens lastig, vooral op een schrijfmachine of computer. In programmeertalen gebruikt men daarom de letter E (de exponent die boven het getal 10 gedacht moet worden). In plaats van 2,15 × 10²¹ schrijft men dan 2.15E21. Ook in informele notities wordt deze notatie weleens gebruikt.

• 1 miljoen seconden duren ongeveer 11 dagen en 14 uur
• 1 miljard seconden duren ongeveer 31 jaar, 8 maanden en 8 dagen
• 1 biljoen seconden duren bijna 31 700 jaar
• 1 miljoen uur duurt ongeveer 114 jaar en 2 maanden
• 1 eeuw bevat gemiddeld 3 155 695 200 seconden
• 1 quadriljoen waterstofatomen wegen samen ruim 1,5 gram
• De Atlantische Oceaan bevat enkele quadriljoenen waterdruppels.
• De planeet Jupiter heeft een massa van circa 2 quadriljard kg.[1]
• De planeet Saturnus heeft een aanmerkelijk kleinere, maar nog steeds aanzienlijke massa van ongeveer 569 quadriljoen kg.[1]
• De aarde heeft een massa van 'slechts' zo'n 5,9 quadriljoen kg [1][noot 1]

• Het aantal bits op een harde schijf in een computer: circa 10¹³ is in de orde van grootte van een tot twee terabyte

• het aantal cellen in het menselijke lichaam: meer dan 10¹⁴ (circa 37 biljoen)[3][4]
• Het aantal verbindingen in de menselijke hersenen: ongeveer 10¹⁴

• Het aantal deeltjes in het heelal; 10⁸⁰
• 1 lichtjaar: 9,46 × 10¹⁵ meter
• 1 parsec: 3,1 × 10¹⁶ meter
• constante van Avogadro: 6,02214 × 10²³ deeltjes

• googol = 10¹⁰⁰ = een 1 met honderd nullen
• getal van de ossen = 7,766 × 10²⁰⁶⁵⁴⁴
• googolplex = 10¹⁰¹⁰⁰ = 10^googol = een 1 met googol nullen
• eerste getal van Skewes = ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$
• Het grootste getal uit de antieke oudheid wordt bezongen in hoofdstuk 30 van de boeddhistische Avatamsaka Soetra (200-700 AD) en is ongeveer ${\displaystyle 10^{10^{5\cdot 2^{120}}}}$.
• getal van Graham, genoemd naar Ronald Graham. Hiervoor is een aparte notatie vereist, aangezien dit getal te groot is om in de wetenschappelijke notatie te worden uitgedrukt, zelfs met meervoudig opeenvolgende exponenten (zoals bij googolplex nog relatief simpel gebeurt).

De naamgeving van grote getallen is direct gerelateerd aan hun orde van grootte. Per factor duizend wordt een andere naam gebruikt. Iedereen kent het woord miljoen (duizend maal duizend). Duizend miljoen is een miljard. Duizend miljard is een biljoen. Duizend biljoen is een biljard. Sommige mensen weten dat daarna een triljoen en een triljard komen, maar dan? Het antwoord is dat er vervolgens wordt voortgegaan met voorvoegsels die een macht van miljoen aangeven:

quadriljoen = miljoen tot de vierde

quadriljard = 1000 × quadriljoen

quintiljoen = miljoen tot de vijfde

quintiljard = 1000 × quintiljoen;

Zo gaat het door met de voorvoegsels sex-, sept-, oct-, non-, deci- en undeci. Bijvoorbeeld:

undeciljoen = miljoen tot de elfde = 10⁶⁶,

undeciljard = 10⁶⁹.

Een probleem bij het bovenstaande is dat dit de Europese benaming is. In de Verenigde Staten slaat men de "-ard"-uitgangen over, dus daar telt men per factor duizend: "million, billion, trillion, quadrillion, ...". Ofwel: Wat voor ons een miljard is, is voor een Amerikaan een "billion", en ons biljoen noemt hij een "trillion". Dit zorgt weleens voor verwarring. (zie: Korte en lange schaalverdeling)

In hun boek "The book of numbers" beschrijven John Conway en Richard Guy hoe grote getallen in woorden moeten worden uitgedrukt.[5] Voor de nog grotere getallen die door Knuth's pijlnotatie en Conway's geketende pijlnotatie mogelijk worden schieten zulke woorden tekort.

• Exponent
• Getal (wiskunde)
• Tetratie
• Knuths pijlomhoognotatie
• Ackermannfunctie
• Korte en lange schaal
• Lijst van machten van tien
• Lijst van natuurlijke getallen
• Mersennepriemgetal

Bronnen en externe links

• App: "Zo schrijf je grote getallen met woorden" (gearchiveerd van origineel op iteror.org op 14 december 2013).
• Namen voor grote getallen (mei 2000, maart 2014) op kpn.nl, laatst bezocht op 18 januari 2018.

Noten

Referenties