Ackermannfunctie

De ackermannfunctie heeft twee natuurlijke getallen ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ als argumenten en is als volgt[1] (recursief) gedefinieerd:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\operatorname {A} (0,n)&=&n+1\\\operatorname {A} (m,0)&=&\operatorname {A} (m-1,1)&{\mbox{als }}m>0\\\operatorname {A} (m,n)&=&\operatorname {A} (m-1,A(m,n-1))&{\mbox{als }}m>0{\mbox{ en }}n>0\end{array}}}$

Deze functie is voor alle waarden van ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ gedefinieerd, dat wil zeggen dat voor alle waarden van ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ de berekening ooit stopt. Dat is het geval omdat in elke recursieve aanroep van de functie ofwel het eerste argument ${\displaystyle m}$ daalt, ofwel het eerste argument ${\displaystyle m}$ gelijk blijft en het tweede argument ${\displaystyle n}$ daalt. Ook in het tweede geval daalt het eerste argument uiteindelijk, namelijk als ${\displaystyle n}$ tot 0 gedaald is. Daardoor treedt altijd ooit het basisgeval ${\displaystyle A(0,n)}$ op.

De ackermannfunctie neemt al bij kleine waarden van ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ zeer grote waarden aan: de waarden (4, 3) als invoer leveren een getal op met meer cijfers dan er elementaire deeltjes in het zichtbare heelal zijn.