Tetratie

We willen de limiet in f nu expliciet evalueren. Hiertoe merken we op dat

${\displaystyle y=\lim _{n\rightarrow \infty }{^{n}x}=\lim _{n\rightarrow \infty }{^{n+1}x}=x^{y}}$

${\displaystyle x={\sqrt[{y}]{y}}=y^{\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle \log {x}={\frac {\log {y}}{y}}}$

${\displaystyle y\log {x}=-\log {\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle e^{-y\log {x}}={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle -\log {x}=-y\log {(x)}e^{-y\log {x}}}$

${\displaystyle -y\log {x}=W\left(-\log {x}\right)}$

${\displaystyle y={\frac {W\left(-\log {x}\right)}{-\log {x}}}}$

Hieruit volgt dat

${\displaystyle f:A\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto -{\frac {W\left(-\log {x}\right)}{\log {x}}}}$

We merken allereerst op dat voor ${\displaystyle x<0}$ het niet zo hoeft te zijn dat ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$. Uit ${\displaystyle y={\sqrt[{x}]{x}}}$ uit de vorige sectie volgt dat het domein van f wordt beperkt door het beeld van ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt[{x}]{x}}}$ onder ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Zij nu

${\displaystyle g:\left[0,\infty \right[\rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto {\sqrt[{x}]{x}}}$

een functie. We weten nu uit de vorige sectie dat g de inverse van f is. Om de karakteristieken van f te vinden is het dus voldoende om g te onderzoeken. We bepalen eerst het maximum van het beeld van g om A vast te leggen.

${\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt[{x}]{x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{\log {\sqrt[{x}]{x}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{\frac {\log {x}}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}\left({\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {\log {x}}{x^{2}}}\right)=x^{{\frac {1}{x}}-2}\left(1-\log {x}\right)}$

We merken op dat ${\displaystyle g'(0)}$ niet gedefinieerd is, maar dat ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{g(x)}=0}$ een minimum is op de rand van het domein van g. Verder merken we op dat ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{g(x)}=1}$ en dus dat ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sqrt[{x}]{x}}{x^{2}}}=0}$ op grond van de productregel. De enige voorwaarden waarvoor geldt dat ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{x}]{x}}{x^{2}}}=0}$ is dat ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ of ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$, maar deze punten zitten niet in het domein van g en gelden dus niet als extreme waarden.

Dit moet betekenen dat als g een extreme waarde heeft in x, dat dan ${\displaystyle 1-\log {x}=0\Rightarrow x=e}$. g heeft een maximum bij e. Hieruit volgt dat ${\displaystyle g(e)={\sqrt[{e}]{e}}}$ en dus zal het domein van f worden gegeven door ${\displaystyle A=\left]0,{\sqrt[{e}]{e}}\right]}$.

Om de waarde van f in ${\displaystyle {\sqrt[{e}]{e}}}$ te bepalen merken we op dat f en g elkaars inverse zijn op het domein van f. En dus zal ${\displaystyle f\left({\sqrt[{e}]{e}}\right)=e}$.

Om de afgeleide van f te bepalen gebruiken we de uitdrukking uit de tweede sectie.

${\displaystyle y=x^{y}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{y}}$

${\displaystyle y'={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{y\log {x}}}$

${\displaystyle y'=x^{y}\left(y'\log {x}+{\frac {y}{x}}\right)}$

${\displaystyle y'\left(1-x^{y}\log {x}\right)=x^{y}{\frac {y}{x}}}$

${\displaystyle y'={\frac {yx^{y}}{x\left(1-x^{y}\log {x}\right)}}}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x)\cdot x^{f(x)}}{x-x^{f(x)+1}\log {x}}}}$

Het uitwerken van deze laatste uitdrukking geeft dat

${\displaystyle f'(x)={\frac {e^{-2W\left(-\log {x}\right)}}{x+xW\left(-\log {x}\right)}}}$

We zullen in deze sectie proberen om de primitieve van f te bepalen. Hiertoe kijken we eerst goed naar de volgende plot van f en g.

We zien nu dat de oppervlakte onder f op ${\displaystyle [0,1]}$ impliciet berekend kan worden met ${\displaystyle 1-\int _{0}^{1}g(x)\mathrm {d} x}$. In het algemeen geldt dat

${\displaystyle \forall a\in \left]0,{\sqrt[{e}]{e}}\right]:\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} x=af(a)-\int _{0}^{f(a)}g(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \forall a<b\in \left[0,{\sqrt[{e}]{e}}\right]:\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{0}^{b}f(x)\mathrm {d} x-\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =af(a)-bf(b)-\int _{0}^{f(a)}g(x)\mathrm {d} x+\int _{0}^{f(b)}g(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =af(a)-bf(b)+\int _{f(a)}^{f(b)}g(x)\mathrm {d} x}$

Hiermee verplaatsen we het probleem van integratie naar de functie g. Het blijkt dat ook g niet expliciet te integreren is, al kunnen we wél partiële integratie toepassen op de volgende convergente Taylorreeks.

${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}=e^{\frac {\log {x}}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log ^{n}{x}}{x^{n}\cdot n!}}}$

In dit stadium van de berekening dienen we al op te merken dat ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\lim _{x\downarrow 0}{\frac {\log ^{n}{x}}{x}}=-\infty }$. Dit zal ons straks problemen op gaan leveren bij de bepaling van ${\displaystyle \int _{0}^{1}g(x)\mathrm {d} x}$. Voor nu zullen we verdergaan met het bepalen van de volgende integraal

${\displaystyle \int {{\frac {\log ^{n}{x}}{x^{n}}}\mathrm {d} x}={\frac {\log ^{n}{x}}{(1-n)x^{n-1}}}-{\frac {n}{1-n}}\int {{\frac {\log ^{n-1}{x}}{x^{n}}}\mathrm {d} x}}$

${\displaystyle \int {{\frac {\log ^{0}x}{x^{n}}}\mathrm {d} x}=\int {{\frac {1}{x^{n}}}\mathrm {d} x}={\frac {1}{(1-n)x^{n-1}}}}$

${\displaystyle \int {{\frac {\log ^{n}{x}}{x^{n}}}\mathrm {d} x}=\sum _{k=0}^{n}{{\frac {\log ^{n-k}{x}}{(1-n)x^{n-1}}}\cdot {\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot {\frac {1}{(1-n)^{k}}}}}$

${\displaystyle ={\frac {n!}{(1-n)}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {\log ^{n-k}{x}}{(1-n)^{k}\cdot x^{n-1}}}}$

Hieruit volgt nu dat

${\displaystyle \int {{\sqrt[{x}]{x}}\mathrm {d} x}=\int {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log ^{n}{x}}{x^{n}\cdot n!}}\cdot \mathrm {d} x}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\int {\frac {\log ^{n}{x}}{x^{n}\cdot n!}}\mathrm {d} x}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{n!}}\cdot {\frac {n!}{(1-n)}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {\log ^{n-k}{x}}{(1-n)^{k}\cdot x^{n-1}}}}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\sum _{k=0}^{n}{\frac {\log ^{n-k}{x}}{(1-n)^{k+1}\cdot x^{n-1}}}}}$

Ofschoon de waarde van ${\displaystyle \int _{0}^{1}{f(x)\mathrm {d} x}}$ niet in radicalen valt uit te schrijven is er met behulp van bovenstaande formules wél een benadering mogelijk. We zien nu dat:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{f(x)\mathrm {d} x}=1-\int _{0}^{1}g(x)\mathrm {d} x\approx 1-0,\!353497=0,\!646503}$

Hieronder volgt een grafische visualisatie van f, ${\displaystyle f'}$ en ${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(y)\mathrm {d} y}$.