Grootcirkelnavigatie

De verheid AB tussen punt A met breedte φ_A en lengte λ_A en punt B met breedte φ_B en lengte λ_B kan bepaald worden aan de hand van boldriehoek AP_nB met behulp van de eerste cosinusregel. In graden geldt:

${\displaystyle \cos AB=\cos(90^{\circ }-{\boldsymbol {\varphi }}_{A})\cdot \cos(90^{\circ }-{\boldsymbol {\varphi }}_{B})+\sin(90^{\circ }-{\boldsymbol {\varphi }}_{A})\cdot \sin(90^{\circ }-{\boldsymbol {\varphi }}_{B})\cdot \cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})}$

In zeemijlen wordt de verheid dan:

${\displaystyle V_{grc}=60\cdot \arccos(\cos AB)}$

De koers van afvaart GrK_afv kan bepaald worden met:

${\displaystyle K=\arccos {\frac {\sin \varphi _{B}-\sin \varphi _{A}\cdot \cos AB}{\cos \varphi _{A}\cdot \sin AB}}}$

waarbij de koers gelijk is aan K als λ_B − λ_A > 0, anders geldt GrK = 360° − K.

Door A en B te verwisselen kan de koers van aankomst worden berekend waarbij de tegenkoers moet worden genomen van de uitkomst. De hoekverandering van de grootcirkel ten opzichte van de meridianen over A en B wordt convergentie genoemd.

De vertex V is het punt waar de grootcirkel de hoogste breedte bereikt. Dit is het punt waar de meridiaan de grootcirkel loodrecht snijdt. Het lengteverschil tussen het punt van afvaart en de vertex kan gevonden worden met:

${\displaystyle \tan \Delta \lambda _{AV}={\frac {1}{\tan GrK\cdot \sin \varphi _{A}}}}$

Voor de lengte van de vertex λ_V geldt dan:

${\displaystyle \lambda _{V}=\lambda _{A}V+\Delta \lambda _{AV}}$

De breedte van de vertex φ_V is te vinden met:

${\displaystyle \tan \varphi _{V}={\frac {\tan \varphi _{A}}{\cos \Delta \lambda _{AV}}}}$

De lengte λ_P waar de grootcirkel een parallel met breedte φ_P snijdt, kan gevonden worden met:

${\displaystyle \cos \Delta \lambda _{PV}={\frac {\tan \varphi _{P}}{\tan \varphi _{V}}}}$

De grootcirkel snijdt de parallel bij twee lengtes:

${\displaystyle \lambda _{P}=\lambda _{V}\pm \lambda _{PV}}$

De breedte φ_P waar de grootcirkel een meridiaan met lengte λ_P snijdt, kan gevonden worden met:

${\displaystyle \tan \varphi _{P}=\tan \varphi _{V}\cdot \cos \Delta \lambda _{PV}}$

De kortste naderingsafstand KNA van de grootcirkel tot een bepaalde positie R wordt bepaald met:

${\displaystyle \sin KNA={\frac {\sin \Delta \varphi _{RP}\cdot \cos \varphi _{V}}{\cos \varphi _{P}}}}$

waaruit KNA in graden volgt. Door deze met 60 te vermenigvuldigen, volgt de afstand in zeemijlen.

Een samengesteld traject bestaande uit een grootcirkel AC, een loxodroom CD en een grootcirkel DB. De beide grootcirkels volgen niet de rechtstreekse grootcirkel tussen A en B.

Als de grootcirkel de reis naar te hoge breedte brengt, kan een samengesteld traject (composite track) worden gevolgd. Daarbij wordt van vertrekpunt A een grootcirkel gevolgd die in C loodrecht raakt aan de bewuste parallel φ_V. Deze parallel wordt gevolgd tot het raakpunt D met de tweede grootcirkel, waarna men deze volgt tot de bestemming B.

De lengtegraad van punt C kan gevonden worden met:

${\displaystyle \cos \Delta \lambda _{AC}={\frac {\tan \varphi _{A}}{\tan \varphi _{V}}}}$

De lengtegraad van punt D kan gevonden worden met:

${\displaystyle \cos \Delta \lambda _{DB}={\frac {\tan \varphi _{B}}{\tan \varphi _{V}}}}$

De eerste grootcirkelafstand kan bepaald worden met:

${\displaystyle \cos AC={\frac {\sin \varphi _{A}}{\sin \varphi _{V}}}}$

De twee grootcirkelafstand volgt uit:

${\displaystyle \cos DB={\frac {\sin \varphi _{B}}{\sin \varphi _{V}}}}$

De afstand CD is te bepalen aan de hand van loxodroomnavigatie:

${\displaystyle V_{CD}=60\cdot \Delta \lambda _{CD}\cdot \cos \varphi _{V}}$

Daarbij geldt dat :

${\displaystyle \Delta \lambda _{CD}=\Delta \lambda _{AB}-\Delta \lambda _{AC}-\Delta \lambda _{DB}}$

Koersen kunnen bepaald worden met de eerdergenoemde methode.

De azimut van A naar B volgt uit:

${\displaystyle \cos T={\frac {\sin \Delta \lambda _{AB}}{\cos \beta _{A}\cdot \tan \beta _{B}-\sin \beta _{A}\cdot \cos \Delta \lambda _{AB}}}}$

De sferische afstand σ volgt uit:

${\displaystyle \cos \sigma =\sin \beta _{A}\cdot \sin \beta _{B}+\cos \beta _{A}\cdot \cos \beta _{B}\cdot \cos \Delta \lambda _{AB}}$

Het opdelen van de grootcirkel kan door in een mercatorkaart vanuit het vertrekpunt van een bepaalde afstand het snijpunt te bepalen met de grootcirkel. Tussen deze twee punten kan een koorde getrokken worden, een loxodroom. Dit kan herhaald worden tot de bestemming bereikt is. Hierbij blijft men aan de holle zijde van de grootcirkel.

Het opdelen kan ook door telkens koersveranderingen van bijvoorbeeld een graad te maken. De koers van afvaart wordt dan gevolgd tot deze een graad verschilt van de koers van afvaart van de positie waar men zich dan bevindt. Er wordt dan een raaklijn aan een nieuwe grootcirkel gevolgd tot er opnieuw een koersverschil van een graad is bereikt. Hierbij blijft men aan de bolle zijde van de grootcirkel.