Delen door nul

Bij het gewone rekenen kan de deling ${\displaystyle a/0}$, waarbij ${\displaystyle a}$ een gewoon getal is, niet uitgerekend worden. De uitkomst is in feite onbepaald. Dit is eenvoudig in te zien. Stel namelijk dat ${\displaystyle a\neq 0}$ en dat het getal ${\displaystyle b}$ het resultaat is van de deling, dus ${\displaystyle a/0=b}$, dan geldt ${\displaystyle b\cdot 0=a}$, terwijl het vermenigvuldigen van een getal met 0 altijd 0 als resultaat geeft.

Men kan zich nu nog afvragen of er een zinnige uitkomst bestaat voor 0 gedeeld door 0. Stel dat het resultaat het getal ${\displaystyle b}$ is, dus ${\displaystyle 0/0=b}$. Dan geldt ${\displaystyle b\cdot 0=0}$, maar dit is een relatie die opgaat voor ieder getal en er is geen duidelijke reden om een specifieke waarde voor het getal ${\displaystyle b}$ te kiezen. De conclusie is dat de deling van 0 door 0 geen zinnige betekenis heeft.

Wanneer een positief getal ${\displaystyle a}$ door een positief getal ${\displaystyle b}$ dat kleiner is dan 1 gedeeld wordt, is de uitkomst groter dan het oorspronkelijke getal ${\displaystyle a}$. Hoe kleiner ${\displaystyle b}$ wordt, hoe verder de uitkomst richting oneindig groot gaat, totdat bij delen door nul het resultaat onbepaald is. De uitkomst van het delen van een positief getal door een getal groter dan –1 (maar kleiner dan en niet gelijk aan 0) levert vergelijkbare (maar negatieve) resultaten op.

Ook in de wiskunde laten de normale rekenkundige regels voor rationale getallen, reële getallen en complexe getallen deling door 0 niet toe. De reden ligt in de definitie van de deling als de inverse bewerking van de vermenigvuldiging. Dit betekent dat ${\displaystyle a/b}$ geïnterpreteerd wordt als ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b^{-1}}$, waarin ${\displaystyle b^{-1}}$ bepaald is door de relatie:

${\displaystyle b\cdot b^{-1}=1}$

Duidelijk is dat voor ${\displaystyle b=0}$ geen enkel getal ${\displaystyle c}$ aan de relatie ${\displaystyle c=b^{-1}}$ kan voldoen, zodat ${\displaystyle 0^{-1}}$ niet gedefinieerd is.

Voor alle andere getallen ${\displaystyle b}$ uit de getallenverzamelingen die hierboven vermeld zijn, bestaat de inverse ${\displaystyle b^{-1}}$ wel en is de uitdrukking ${\displaystyle a/b}$ gedefinieerd.

Voorstelling van een limiet naar oneindig

Op het eerste gezicht lijkt het een goed idee om ${\displaystyle {a \over 0}}$ te definiëren als de limiet van ${\displaystyle {a \over b}}$ voor ${\displaystyle b}$ gaat naar 0. Voor elke ${\displaystyle a>0}$ geldt dat

${\displaystyle \lim _{b\downarrow 0}{a \over b}=+\infty }$

en

${\displaystyle \lim _{b\uparrow 0}{a \over b}=-\infty }$

Daaruit blijkt dat de gezochte limiet niet bestaat en het oorspronkelijke idee niet uitvoerbaar is.

Limieten van de vorm

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{f(x) \over g(x)}}$

waarin zowel ${\displaystyle f(x)}$ als ${\displaystyle g(x)}$ naar nul gaan, als ${\displaystyle x}$ naar nul gaat, kunnen naar gelijk welke waarde convergeren, of helemaal niet convergeren. Zie de Regel van L'Hôpital voor een bespreking en voorbeelden van limieten van breuken.

In de functionaalanalyse kan de functie

${\displaystyle {1 \over x}}$

uitgebreid worden tot een distributie over de gehele ruimte van reële getallen (door gebruik te maken van Cauchy-hoofdwaarden). Het heeft echter geen zin om de 'waarde' van deze distributie te bepalen voor ${\displaystyle x=0}$; een gesofisticeerd antwoord verwijst naar de singuliere drager van deze distributie.

Hoewel delen door nul onbepaald is voor reële en gehele getallen, is het mogelijk om deling door nul consistent te definiëren in andere wiskundige structuren, bijvoorbeeld op de Riemann-sfeer. Een singulariteit wordt opgeheven door de definitie ruimer te stellen. Bij berekeningen met hyperreële getallen en surreële getallen is deling door niet-nul infinitesimalen mogelijk. Als een getallenverzameling een commutatieve ring vormt, zoals die van de gehele getallen, de reële getallen en de complexe getallen, kan die uitgebreid worden tot een wiel waarin deling door nul altijd mogelijk is. De deling krijgt in dat geval een iets andere betekenis.

De IEEE 754-standaard specifieert dat elke rekenkundige bewerking met zwevendekommagetallen, inclusief deling door nul, een welbepaald resultaat moet hebben. Volgens die regels is ${\displaystyle a/0}$ positief oneindig als ${\displaystyle a}$ positief is, negatief oneindig als ${\displaystyle a}$ negatief is, en NaN ("not a number") als ${\displaystyle a=0}$. Deze definities zijn afgeleid van de eigenschappen van de limieten die hierboven besproken werden. De IEEE 754-standaard is de meest gebruikte specificatie en wordt onder andere door Intelprocessors gebruikt.

Delingen met gehele getallen kunnen op een andere manier verwerkt worden dan met zwevende komma. Intelprocessors genereren een interrupt wanneer een poging wordt gedaan tot deling door nul. Het gebruikelijke gevolg is dat het programma afbreekt op de plaats waar dit gebeurde. Om ervoor te zorgen dat elke bewerking een eindig numeriek resultaat (zwevende komma) teruggeeft en een interrupt vermeden wordt, kan een computer weigeren om een deling uit te voeren als de deler nul is.