Formeleconceptanalyse

Het begrip formeel concept heeft zijn oorsprong in de filosofische theorie over het begrip concept, die zegt dat een concept bepaald is door haar extent (welke dingen vallen onder het concept?) en haar intent (welke kenmerken of attributen hebben deze dingen gemeen?).

Dit wordt vertaald naar een formele context, dit is een tripel (G, M, R) bestaande uit een verzameling G van objecten, een verzameling M van eigenschappen of attributen, en een binaire relatie R van G naar M; xRy betekent: object x bezit eigenschap y.

De benamingen G voor objecten en M voor attributen gaan terug op de Duitse benamingen die Wille introduceerde: "Gegenstände" en "Merkmale".

De relatie R kan men voorstellen in een bipartiete graaf of de incidentiematrix daarvan; dit is een 0-1-matrix waarvan de rijen corresponderen met objecten en de kolommen met eigenschappen, en waarvan het element op rij i en kolom j 1 is als object i de eigenschap j bezit, en 0 in andere geval.

In een formele context kan dan een formeel concept omschreven worden als een paar (A, B) waarin A een deelverzameling is van de objectenverzameling G en B een deelverzameling van de attributenverzameling M, zodanig dat tegelijk geldt: A is de grootste verzameling objecten die alle attributen uit B bezitten, en: B is de grootste verzameling attributen die door alle objecten uit A gedeeld worden.

Een formeel concept wordt gedefinieerd in termen van de machtsverzamelingen ${\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}$ van G en ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ van M; dit zijn partieel geordende verzamelingen met ordeningsrelatie "is deelverzameling van".

Men definieert dan een afbeelding f van ${\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}$ op ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ met:

${\displaystyle f(A\in {\mathcal {P}}(G))=\{x\in M|sRx\ \forall s\in A\}}$

Dit is de verzameling van eigenschappen die door alle objecten uit ${\displaystyle A}$ gedeeld worden, en wordt aangeduid met ${\displaystyle A'}$. Als ${\displaystyle A=\{g\}}$ een enkel object bevat noemt men ${\displaystyle A'}$ de object-intent van object ${\displaystyle g}$.

Analoog wordt een afbeelding g gedefinieerd van ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ op ${\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}$:

${\displaystyle g(B\in {\mathcal {P}}(M))=\{y\in G|yRt\ \forall t\in B\}}$

Dit is de verzameling van objecten die alle attributen uit ${\displaystyle B}$ bezitten. Deze verzameling wordt aangeduid met ${\displaystyle B'}$. Als ${\displaystyle B=\{m\}}$ een enkel attribuut bevat noemt men ${\displaystyle B'}$ de attribuut-extent van attribuut ${\displaystyle m}$.

Wanneer nu ${\displaystyle A'=B}$ en ${\displaystyle B'=A}$ spreekt men over een formeel concept ${\displaystyle (A,B)}$. Birkhoff noemde dit een polariteit. ${\displaystyle A}$ is de extent van het concept en ${\displaystyle B}$ de intent.

Voor een formeel concept ${\displaystyle (A,B)}$ is ${\displaystyle g(f(A))=A''=A}$ en ${\displaystyle f(g(B))=B''=B}$.

De afbeeldingen f en g worden ook de afleidende operatoren genoemd. Ze definiëren een orde-omkerende Galoisverbinding (een term geïntroduceerd door Øystein Ore) tussen de machtsverzamelingen van de objectenverzameling en van de attributenverzameling. Omgekeerd kan elke dergelijke Galoisverbinding voorgesteld worden als een koppel van afbeeldingen van een formele context.

Op de verzameling van alle formele concepten kan men een partiële orde ≤ ("subconcept") definiëren. Als (A, B) en (A*, B*) twee concepten zijn, dan bepaalt men dat (A, B) ≤ (A*, B*) wanneer A ⊆ A* (of, wat op hetzelfde neerkomt: (A, B) ≤ (A*, B*) wanneer B* ⊆ B). Een concept wordt dus hoger gerangschikt dan een ander wanneer het meer objecten beschrijft of minder attributen heeft; het is een algemener concept.

Twee verschillende concepten hebben in deze ordening steeds een unieke grootste ondergrens of infimum. Voor concepten (A, B) en (A*, B*) is dit het concept met objectenverzameling de doorsnede A ∩ A* en als attributenverzameling de vereniging B ∪ B*. Evenzo hebben twee concepten een unieke kleinste bovengrens of supremum; die heeft als attributenverzameling de doorsnede van B en B* en als objectenverzameling de vereniging van A en A* en van eventuele andere objecten die alle attributen bezitten uit B ∩ B*.

Dit betekent dat de formele concepten een volledige tralie vormen, de concepttralie of Galoistralie. Dit is een concepthiërarchie voor de objecten en hun eigenschappen; een subconcept bevat een deelverzameling van de objecten in de concepten die hoger staan in de tralie. De tralie-ordening laat toe om implicatie-regels van eigenschappen en verbanden tussen objecten en eigenschappen op te sporen. De tralie kan met algebraïsche technieken geanalyseerd worden, maar ook visueel voorgesteld in een Hasse-diagram. Dit is een van de meest aantrekkelijke aspecten van FCA.

Men gebruikt ook de termen join voor het infimum van twee concepten, en meet voor het supremum. Deze kunnen uit de grafische voorstelling van de tralie afgelezen worden. Kies twee concepten in het tralie en volg de dalende paden vanuit deze concepten. Er is altijd een hoogste punt waar de paden samenkomen ("join"), dit is het infimum. Er is ook altijd een laagste punt in het tralie waar stijgende paden uit beide concepten samenkomen ("meet"); dit is het supremum. Als de twee concepten verbonden zijn door een lijn is het bovenste concept het supremum en het onderste het infimum.

Een eenvoudig algoritme om alle concepten van een formele context te bepalen is gebaseerd op de volgende beschouwingen:

• men hoeft enkel de concept-extents te bepalen (of de intents), de rest van een concept kan men bekomen door toepassing van de afleidende operatoren;
• elke extent is de doorsnede van een aantal attribuut-extents;
• de doorsnede van willekeurig veel extents is altijd een extent (met als speciaal geval de doorsnede van nul extents, die gelijk is aan G);
• men kan alle extents van concepten bepalen uit de kennis van alle attribuut-extents (en vice versa).

Men kan dan een lijst van concept-extents opstellen als volgt:

• Plaats op de lijst voor elk attribuut de attribuut-extent ervan.
• Bereken voor elke twee verzamelingen in de lijst de doorsnede. Voeg die toe aan de lijst als ze er nog niet in staat. Ga met de uitgebreide lijst verder om alle paarsgewijze doorsneden te onderzoeken.
• Als voor elke twee verzamelingen in de lijst hun doorsnede ook in de lijst staat, breid de lijst dan uit met G, de verzameling van alle objecten.

Hierbij moet men uiteraard geen verzamelingen aan de lijst toevoegen die er reeds in staan. Na afloop bevat de lijst alle concept-extents. Dan kan men voor elk ervan de corresponderende intent bepalen.

De ordening van de concepten gebeurt op basis van hun extent; een concept (A₁, B₁) wordt lager geordend dan (of: is een echt subconcept van) een tweede concept (A₂, B₂) wanneer A₁ een deelverzameling is van A₂ of B₂ een deelverzameling van B₁. De concepttralie kan men nu tekenen door de regels voor het opstellen van een Hasse-diagram te volgen.

Dit algoritme kan men handmatig uitvoeren voor (zeer) kleine contexten, maar het is niet efficiënt voor grote contexten. Er zijn verschillende efficiëntere algoritmen ontwikkeld om de concepttralie te bepalen en te updaten wanneer een nieuw object of een nieuw attribuut wordt toegevoegd aan de context. Sommige genereren een nieuw concept uit een bestaande door de extent te vergroten en/of de intent te verkleinen (of vice versa) volgens een strategie die garandeert dat alle concepten zullen gevonden worden, en liefst zo weinig mogelijk concepten meerdere malen gegenereerd worden. Andere genereren een nieuw concept uit de doorsnede van de extents van twee bestaande concepten. Er bestaan ook algoritmen die op een parallelle computer met meerdere processoren kunnen uitgevoerd worden.[4]

Voor de voorstelling van de tralie zijn ook speciale programma's ontwikkeld. In reële toepassingen met duizenden objecten en tientallen attributen kan een concepttralie tienduizenden concepten bevatten; het is onmogelijk deze volledig af te beelden. Een "ijsberg"-diagram toont enkel het bovenste deel van de tralie, met concepten die meer dan een bepaald percentage van alle objecten dekken.

Voor FCA is een goede keuze van relevante attributen van groot belang. Numerieke grootheden (bijvoorbeeld leeftijd, vermogen, gewicht... van mensen) kan men niet als een attribuut gebruiken. Die moet men indelen in klassen (discretisatie), bijvoorbeeld klein, middelgroot en groot. Elke klasse is dan een attribuut. Hoeveel klassen men gebruikt voor een grootheid is een keuze die men moet maken. Een te groot aantal attributen zal de interpretatie van de analyseresultaten bemoeilijken. Het zou ook kunnen dat er semantische verbanden zijn tussen bepaalde eigenschappen; dat wil zeggen dat de eigenschappen niet onderling onafhankelijk zijn. Daardoor kan de bekomen ontologie overbodige of redundante informatie bevatten. De methode houdt daar geen rekening mee. Een voorbeeld zou kunnen zijn een formele context met zowel de eigenschappen "zoogdier" als "walvis".

Voor het opstellen van een goede attributenverzameling en het toekennen van attributen aan objecten kan men technieken zoals neurale netwerken, support vector machines of naïeve Bayes-classificeerders gebruiken.

• Bernhard Ganter's Formal Concept Analysis Page
• Formal Concept Analysis Homepage (deze website bevat ook een collectie links naar FCA-software)

• Bernhard Ganter, Gerd Stumme, Rudolf Wille (red.) Formal Concept Analysis: Foundations and Applications. Springer-Verlag, 2005. ISBN 3540278915
• Garrett Birkhoff, Lattice Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications, 1940 (repr. 2011). ISBN 0821810251
• Abderrahim El Qadi, Driss Aboutajdine, Yassine Ennouary. "Formal Concept Analysis for Information Retrieval." International Journal of Computer Science and Information Security (2010), vol. 7 nr. 2, blz. 119-125.