Incidentiematrix

Voor een ongerichte, niet-gewogen graaf met n knopen en p bogen, is de incidentiematrix een n bij p matrix waarin het element op de i-de rij en j-de kolom gelijk is aan:

• 1 wanneer knoop ${\displaystyle v_{i}}$ een uiteinde is van de boog ${\displaystyle x_{j}}$;
• 2 wanneer de boog ${\displaystyle x_{j}}$ een lus is van knoop ${\displaystyle v_{i}}$ naar ${\displaystyle v_{i}}$;
• 0 in het andere geval.

Voorbeeld: stel dat de bogen in onderstaande graaf als volgt zijn genummerd:

1. tussen 1 en 1
2. tussen 1 en 2
3. tussen 1 en 5
4. tussen 2 en 5
5. tussen 2 en 3
6. tussen 5 en 4
7. tussen 3 en 4
8. tussen 4 en 6

dan ziet de incidentiematrix eruit als volgt:

Gelabelde graaf	Incidentiematrix
	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&1&1\\0&0&1&1&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

De som van elke kolom is gelijk aan 2, omdat elke boog twee knopen verbindt.

De som van de i-de rij in de incidentiematrix is de graad van de knoop i, dit is het aantal bogen dat in die knoop samenkomt (een lus wordt tweemaal geteld). De graadmatrix van de graaf is de n bij n-diagonaalmatrix met op de diagonaal de graad van elke knoop, dit is hier de matrix:

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}4&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Voor een gerichte graaf, waarin elke boog een begin- en een eindknoop heeft, is het element op de i-de rij en j-de kolom in de incidentiematrix gelijk aan:

• 1 wanneer knoop ${\displaystyle v_{i}}$ de beginknoop is van de boog ${\displaystyle x_{j}}$;
• -1 wanneer knoop ${\displaystyle v_{i}}$ de eindknoop is van de boog ${\displaystyle x_{j}}$;
• 0 in het andere geval.

Soms wordt de omgekeerde conventie gebruikt (-1 als de boog de knoop verlaat en +1 als de boog in de knoop aankomt).

De som van een kolom in de incidentiematrix is nu steeds gelijk aan nul. Als er in een gerichte graaf een lus voorkomt bestaat de corresponderende kolom geheel uit nullen.

De incidentiematrix wordt in de spectrale grafentheorie gebruikt om eigenschappen van de grafen af te leiden uit de matrices die ermee verwant zijn.

In de informatica kan de incidentiematrix een compacte voorstelling van een graaf vormen. De incidentiematrix van een graaf met n knopen en p kanten benodigt ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n\cdot p)}$ geheugenplaatsen. Voor "ijle" grafen met veel knopen maar relatief weinig kanten (dus p veel kleiner dan n) kan dit een voordeel zijn t.o.v. een voorstelling als bogenmatrix, die ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})}$ geheugen inneemt.