Translatiesymmetrie
Translatiesymmetrie is een vorm van symmetrie waarbij voor ieder punt van een object geldt dat het hetzelfde blijft (invariantie) wanneer het in een bepaalde richting verschoven wordt over een bepaalde lengte t. Formeel is dit alleen mogelijk bij een oneindig groot object, maar als dit wordt geïllustreerd met een eindig gedeelte ervan met voldoende herhaling in elke dimensie, dan is wel duidelijk welk oneindig object bedoeld wordt. Translatiesymmetrie komt bijvoorbeeld voor bij behang, en is ook een belangrijk begrip bij de beschrijving van kristallijne materialen.
Wiskundige beschrijving van translatiesymmetrie
Wiskundig kan men stellen dat een functie f(x) translatiesymmetrie bezit als geldt dat f(x+t)=f(x) voor alle waarden van x. Dat laatste houdt in dat het ook moet gelden voor f(x+t), dat wil zeggen f(x+t) moet gelijk zijn aan f(x+t+t)= f(x+2t). Een functie met translatiesymmetrie is daarom een periodieke functie. Een voorbeeld van zo'n functie is de sinus met t=2π. Immers, sin(x)=sin(x+2π)=sin(x+2nπ).
Het begrip translatiesymmetrie kan gegeneraliseerd worden naar functies van meer dimensies, bijvoorbeeld f(x,y,z). In dat geval wordt de verschuiving t een driedimensionale vector: t = (tx,ty,tz).
Translatiesymmetrie van een object houdt in dat zijn symmetriegroep een niet-triviale translatiegroep bevat. Elementen van deze groep zijn onder meer:
- E Het identiteitselement ('Doe niets')
- t Een simpele translatie ('Schuif over een vector t')
- t2 ('Schuif twee keer')
De inverse elementen corresponderen met 'schuif terug'.
De volgorde waarin twee verschuivingen worden uitgevoerd kan omgewisseld worden (de symmetriegroep is een Abelse groep). Er is een 1-op-1 verband tussen translaties en vectoren, en dus ook tussen translatiegroepen en ondergroepen van de ruimte. De verzameling translatievectoren van de groep wordt het rooster genoemd.
Het is mogelijk om translatiesymmetrie te combineren met rotatiesymmetrie, bijvoorbeeld een tweetallige as C2. Er ontstaan dan elementen als t2 C2 ('roteer over π en schuif dan twee keer'). Zulke elementen vormen samen een ruimtegroep.
Translatiesymmetrie in kristallijne materialen
Translatiesymmetrie in een kristallijn materiaal houdt in dat men de structuureenheid telkens weer opnieuw tegenkomt wanneer men een stukje verder kijkt (transleert) in het kristal. Deze translatiesymmetrie kan men het best beschrijven door middel van een eenheidsvector of celribbe. Omdat het kristal driedimensionaal is, zijn er voor een volledige beschrijving van de translatiesymmetrie drie zulke vectoren nodig die niet in één vlak liggen.
Gezamenlijk vormen deze vectoren een parallellepipedum of blok dat de eenheidscel genoemd wordt. De drie eenheidsvectoren (a,b,c) noemt men wel de celribben of celconstanten. Afhankelijk van de aan- of afwezigheid van rotatiesymmetrie kunnen de ribben willekeurige hoeken (α,β,γ) met elkaar maken of moeten zij haaks op elkaar staan. Ook aan hun relatieve lengte zijn, afhankelijk van de totale symmetrie, beperkingen opgelegd. De volgende roosters zijn mogelijk:
- triklien (a, b, c, α, β, γ alle willekeurig)
- monoklien (a, b, c, β alle willekeurig, α = γ = 90°)
- orthorombisch (a, b, c willekeurig, α = β = γ = 90°)
- tetragonaal (a = b, c willekeurig, α = β = γ = 90°)
- romboëdrisch (a = b = c, α = β = γ)
- hexagonaal (a = b, c willekeurig, α = β = 90° γ = 120°)
- kubisch (a = b = c, α = β = γ = 90°)
Een afspraak die in de kristallografie is gemaakt, is om zo veel mogelijk de hoogst mogelijke symmetrie te gebruiken om een rooster te beschrijven. En waar dat mogelijk is, worden de kortste assen a, b en c gebruikt die het rooster correct beschrijven.
In sommige gevallen is het mogelijk om een rooster te beschrijven met een hogere symmetrie door het volume van de eenheidscel te vermenigvuldigen met 2, 3 of 4 (centrering). Dit resulteert dan in een zogenaamd niet-primitief rooster. Er zijn 14 combinaties van roosters met centreringen, de zogenaamde Bravaistralies.