Oplosbare groep

Een groep ${\displaystyle G}$ wordt oplosbaar genoemd als deze groep een normale rij heeft, waarvan de factorgroepen alle commutatief zijn, dat wil zeggen dat er ondergroepen

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\subset G_{1}\subset \ldots \subset G_{k}=G}$

zijn, zodanig dat ${\displaystyle G_{j-1}}$ normaal is in ${\displaystyle G_{j}}$ en de factorgroepen ${\displaystyle G_{j}/G_{j-1}}$ commutatief zijn.

Of equivalent: als de "afgeleide rijen" van de groep, de afnemende normale rij

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \ldots ,}$

waar iedere ondergroep de commutatorondergroep van de vorige is, uiteindelijk de triviale groep {1} van G bereikt. Deze twee definities zijn gelijkwaardig, aangezien voor elke groep H en iedere normaaldeler N van H, het quotiënt H/N dan en slechts dan commutatief is als H⁽¹⁾ deel uitmaakt van N. De kleinste n zodanig dat ${\displaystyle G^{(n)}=\{1\}}$ wordt de afgeleide lengte van de oplosbare groep G genoemd.

Alle abelse groepen zijn oplosbaar - het quotiënt A/ B zal altijd abels zijn als A abel is. Te bepalen dat een groep oplosbaar is, heeft dus alleen nut voor niet-commutatieve groepen.

Meer in het algemeen geldt dat alle nilpotente groepen oplosbaar is. In het bijzonder zijn de eindige p-groepen oplosbaar, aangezien alle eindige p-groepen nilpotent zijn.

Een klein voorbeeld van een oplosbaar, niet-nilpotente groep is de symmetrische groep S₃. Aangezien de kleinste enkelvoudige niet-abelse groep A₅, (de alternerende groep van graad 5 is, volgt hieruit dat elke groep met een orde van minder dan 60 oplosbaar is.