Kruisproduct

Grafische voorstelling van het kruisproduct van vectoren ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$. De vector ${\displaystyle \mathbf {n} }$ staat loodrecht op ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ en wijst de beweging aan van een kurkentrekker die van ${\displaystyle \mathbf {a} }$ naar ${\displaystyle \mathbf {b} }$ gedraaid wordt.

Het kruisproduct ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ van de vectoren ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ in een driedimensionale ruimte wordt gedefinieerd door de volgende 3 regels:

1. ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ staat loodrecht op ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ (richting van ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$)
2. ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ en ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ vormen een rechtshandig assenstelsel;
3. ${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|=\|\mathbf {a} \|\;\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )}$ (grootte van ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$), waarin θ de hoek tussen ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ is.

De regels 1 en 2 houden in dat de richting van het kruisproduct bepaald wordt door de vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$ naar de vector ${\displaystyle \mathbf {b} }$ te draaien alsof men een kurkentrekker hanteert, waarna de richting van de kurkentrekker de richting van het kruisproduct bepaalt. Men noemt dit de kurkentrekkerregel. Tegenwoordig spreekt men ook wel van de rechterhandregel of pistoolgreep.

Regel 3 legt de grootte van het kruisproduct vast als gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met de vectoren ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ als zijden.

De formule voor het kruisproduct van ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}$ en ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$ uitgedrukt in de coördinaten van ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ luidt:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})}$.

Om deze formule te onthouden, schrijft men deze wel in de vorm van de onderstaande determinant, waarin ${\displaystyle \mathbf {e} _{x}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{y}}$ en ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$ de eenheidsvectoren langs respectievelijk de x-, y- en z-as voorstellen.

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=&(a_{x},a_{y},a_{z})\times (b_{x},b_{y},b_{z})&\\&=&{\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}&=(a_{y}b_{z}-b_{y}a_{z})\mathbf {e} _{x}-(a_{x}b_{z}-b_{x}a_{z})\mathbf {e} _{y}+(a_{x}b_{y}-b_{x}a_{y})\mathbf {e} _{z}\\\\&=&{\begin{pmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\\a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\\a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\\\end{pmatrix}}&=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\end{array}}}$

Opmerking: In de bovenstaande formule gebruiken we de determinant slechts als geheugensteun en om de berekening te vergemakkelijken. De determinant is niet een echte determinant, dat wil zeggen de determinant van een echte matrix. In principe mogen er enkel scalairen (getallen) in voorkomen, geen vectoren.

Het kruisproduct wordt in de wiskunde vaak gebruikt om met behulp van twee gegeven vectoren een vector te bepalen die loodrecht op de twee eerste staat (zie onder andere normaalvector).

In de mechanica wordt een kruisproduct gebruikt om een moment ten opzichte van een punt uit te rekenen: ${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}$, met ${\displaystyle {\vec {M}}}$ het moment, ${\displaystyle {\vec {F}}}$ de kracht, en ${\displaystyle {\vec {r}}}$ de plaatsvector. Het zijn alle drie vectoren, maar uit andere vectorruimten.

Het kruisproduct in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ blijft bewaard onder een isometrische lineaire transformatie, op het teken na: oriëntatiebewarende isometrieën (rotaties) bewaren het kruisproduct, oriëntatie-omkerende isometrieën (rotatie-inversies, bijvoorbeeld spiegelingen) veranderen het kruisproduct van twee vectoren in zijn tegengestelde.

In de tensoralgebra drukt men bovenstaande eigenaardigheid uit door te zeggen dat het kruisproduct van twee vectoren een pseudovector is.

• Cross Product - mathworld.wolfram.com