Matrixgroep
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een matrixgroep een groep die bestaat uit inverteerbare matrices over enig, meestal vooraf vastgesteld lichaam (Ned) / veld (Be) met als bewerking de matrixvermenigvuldiging en als inverse de inverse matrix. Meer in het algemeen, kan men n×n-matrices over een commutatieve ring beschouwen. (De orde van de matrices moet eindig zijn, aangezien elke groep kan worden weergegeven als een groep van oneindige matrices over enig lichaam/veld.) Een lineaire groep is een abstracte groep die isomorf is met een matrixgroep over een lichaam/veld K, met andere woorden, de groep laat een getrouwe, eindig-dimensionale representatie over K toe.
Elke eindige groep is lineair, omdat gebruikmakend van de stelling van Cayley elke groep kan worden gerealiseerd door middel van permutatiematrices. Onder de oneindige groepen vormen lineaire groepen een interessante en hanteerbare klasse. Voorbeelden van niet-lineaire groepen zijn onder meer alle "voldoend grote" groepen, bijvoorbeeld de oneindige symmetrische groep van permutaties van een oneindige verzameling.
Voorbeelden
- Zie tabel van Lie-groepen, lijst van eindige enkelvoudige groepen en de lijst van enkelvoudige Lie-groepen voor vele voorbeelden.
- Zie lijst van transitieve eindige lineaire groepen.
Referenties
- (en) Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
- (en) Wulf Rossmann, Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics), Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9.
- (fr) J. Dieudonné La géométrie des groupes classiques (De meetkunde van de klassieke groepen), Springer, 1955. ISBN 1-114-75188-X
- (en) H. Weyl The classical groups (De klassieke groepen), H. Weyl, ISBN 0-691-05756-7