Stelling van Cayley

Hoewel Burnside[1] de stelling toeschrijft aan Jordan[2], is volgens Eric Nummela[3] de juiste naam voor deze stelling : "de Stelling van Cayley". In zijn oorspronkelijk artikel uit 1854[4], waarin hij het concept van een groep introduceerde, toonde Caley volgens Nummela aan dat de 'correspondentie' in de stelling een op een is, maar hij slaagde er niet om expliciet aan te tonen dat er sprake was van een homoformisme (en dus een isomorfisme). Nummela merkt op dat Cayley dit resultaat 16 jaar voor Jordan publiceerde.

Laat ${\displaystyle \forall _{g\in G}:\varphi _{g}:G\rightarrow G:x\mapsto gx}$ en laat verder ${\displaystyle H=\left\{\varphi _{g}|g\in G\right\}\subset Sym(G)}$. Beschouw verder de transformatie ${\displaystyle T:G\rightarrow H:g\mapsto \varphi _{g}}$. We merken allereerst op dat alle elementen van H disjunct zijn en dat ${\displaystyle |H|=|G|}$. T is daarmee een bijectieve transformatie tussen G en H.

${\displaystyle \forall _{x\in G}\forall _{g,g'\in G}:T(gg')(x)}$${\displaystyle \,=\varphi _{gg'}(x)}$${\displaystyle \,=x\mapsto gg'x}$${\displaystyle \,=\left(x\mapsto gx\right)\circ \left(x\mapsto g'x\right)}$${\displaystyle \,=\varphi _{g}\circ \varphi _{g'}(x)}$${\displaystyle \,=\left(T(g)\circ T(g')\right)(x)}$

Ofwel, T is een homomorfisme. Omdat T een bijectief homomorfisme is, is het een isomorfisme en zijn G en H isomorf. Dus ${\displaystyle \exists _{H\subseteq Sym(G)}:G\approx H}$

• Groep (wiskunde),
• Arthur Cayley,
• Stelling van Lagrange (groepentheorie),
• Stelling van Burnside,
• Stellingen van Sylow,