Permutatiematrix

Gegeven een permutatie π van m elementen,

${\displaystyle \pi :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace }$

wat in tweeregelige vorm kan worden geschreven als

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}},}$

De permutatiematrix is de m × m matrix P_π, waarvan de invoerwaarden allen gelijk zijn 0, behalve dat in rij i, de invoerwaarde π(i) gelijk is aan 1. Wij mogen schrijven

${\displaystyle P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (m)}\end{bmatrix}},}$

waar ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ een rijvector van lengte m met 1 in de j-de positie en 0 in alle andere posities voorstelt.

Gegeven twee permutaties π en σ van m elementen en de corresponderende permutatiematrices P_π en P_σ

${\displaystyle P_{\pi }P_{\sigma }=P_{\pi \circ \sigma }}$

Aangezien permutatiematrices orthogonale matrices zijn (dat wil zeggen, ${\displaystyle P_{\pi }P_{\pi }^{T}=I}$), bestaat de inverse matrix en kan deze geschreven worden als

${\displaystyle P_{\pi }^{-1}=P_{\pi ^{-1}}=P_{\pi }^{T}.}$

Vermenigvuldiging van ${\displaystyle P_{\pi }}$ maal een kolomvector g zal de rijen van de vector permuteren:

${\displaystyle P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{\pi (1)}\\g_{\pi (2)}\\\vdots \\g_{\pi (n)}\end{bmatrix}}.}$

Vermenigvuldiging van een rijvector h maal ${\displaystyle P_{\pi }}$ zal de kolommen van de matrix als volgt permuteren:

${\displaystyle \mathbf {h} P_{\pi }={\begin{bmatrix}h_{1}\;h_{2}\;\dots \;h_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{\pi (1)}\;h_{\pi (2)}\;\dots \;h_{\pi (n)}\end{bmatrix}}}$

1. Een permutatiematrix is het product van een eindig aantal elementaire matrices die elk een corresponderen met e 'rij-verwisselende' elementaire rij operatie.
2. Elke permutatiematrix ${\displaystyle P}$ is inverteerbaar en ${\displaystyle P^{-1}=P^{T}}$.
3. Het product van twee willekeurige permutatiematrices is opnieuw een permutatiematrix.
4. De getransponeerde van een permutatiematrix is ook een permutatiematrix.

De permutatiematrix P_π die correspondeert met de permutatie :${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}},}$ is

${\displaystyle P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\\\mathbf {e} _{\pi (5)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{4}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{5}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}.}$

Gegeven een vector g,

${\displaystyle P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\\\mathbf {e} _{\pi (5)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\\g_{4}\\g_{5}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{4}\\g_{2}\\g_{5}\\g_{3}\end{bmatrix}}.}$

• Permutatie