Indicator (getaltheorie)

Uit de definitie volgt dat ${\displaystyle \varphi (1)=1}$ en ${\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)}$ voor priemgetallen ${\displaystyle p}$. Bovendien is ${\displaystyle \varphi }$ een multiplicatieve functie: als ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ onderling ondeelbaar zijn, is ${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}$. (Schets van het bewijs: Zij ${\displaystyle A,B,C}$ de verzameling residuklassen modulo-en-onderling-ondeelbaar-tot ${\displaystyle m,n,mn}$ respectievelijk; dan is er een bijectie tussen ${\displaystyle A\times B}$ en ${\displaystyle C}$ via de Chinese reststelling.)

De waarde van ${\displaystyle \varphi (n)}$ kan dus berekend worden met de hoofdstelling van de rekenkunde. Als

${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{k_{r}}}$

waarin de ${\displaystyle p_{j}}$ verschillende priemgetallen zijn, dan is

${\displaystyle \varphi (n)=p_{1}^{k_{1}-1}(p_{1}-1)\cdot \ldots \cdot p_{r}^{k_{r}-1}(p_{r}-1)}$

Deze laatste formule is een euler-product en wordt meestal geschreven als

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

met het product over alle priemgetallen ${\displaystyle p}$ die deler zijn van ${\displaystyle n}$.

Het getal ${\displaystyle \varphi (n)}$ is ook gelijk aan het aantal generators van de cyclische groep ${\displaystyle C_{n}}$. Omdat ieder element van ${\displaystyle C_{n}}$ een cyclische deelgroep genereert en de deelgroepen van ${\displaystyle C_{n}}$ van de vorm ${\displaystyle C_{d}}$ zijn waarin ${\displaystyle d}$ deler is van ${\displaystyle n}$ (geschreven als ${\displaystyle d|n}$), geldt:

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}$

waarin de som zich uitstrekt over alle positieve delers ${\displaystyle d}$ van ${\displaystyle n}$.

Met behulp van de möbius-inversieformule kan deze som omgedraaid worden om een andere formule te krijgen voor ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d|n}d\cdot \mu (n/d)}$,

waarin ${\displaystyle \mu }$ de gebruikelijke möbiusfunctie gedefinieerd over de positieve natuurlijke getallen.

Als ${\displaystyle a}$ onderling ondeelbaar is met ${\displaystyle n}$, d.w.z ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,n)=1}$, dan is

${\displaystyle a^{\varphi (n)}=1\mod n}$

Een Dirichlet-reeks met ${\displaystyle \varphi (n)}$ is

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$

Een Lambert-rij voortbrengende functie is

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$,

geldig voor alle ${\displaystyle |q|<1}$.

De groei van ${\displaystyle \varphi (n)}$ als een functie van ${\displaystyle n}$ is een interessante vraag, omdat de eerste indruk dat ${\displaystyle \varphi (n)}$ bij een kleine ${\displaystyle n}$ veel kleiner is dan ${\displaystyle n}$ ietwat misleidend is. Asymptotisch geldt

${\displaystyle n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}$

voor iedere ${\displaystyle \varepsilon >0}$ en ${\displaystyle n>N(\varepsilon )}$. Het quotiënt:

${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}}$

kan via bovenstaande formule geschreven worden als het product van factoren

${\displaystyle 1-{\frac {1}{p}}}$

over de priemgetallen ${\displaystyle p}$ die ${\displaystyle n}$ delen. Uit de priemgetalstelling kan aangetoond worden dat voor constante ${\displaystyle \varepsilon }$ dit vervangen kan worden door

${\displaystyle {\frac {C\log \log n}{\log n}}}$

Dit is ook waar in het gemiddelde:

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\ln n}{n}}\right)}$

waarin de grote O een Landau-symbool is.

• Niettotiënt
• Nietcototiënt
• Hogelijk totiënt getal
• Hogelijk cototiënt getal

• (en) Milton Abramowitz en Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See paragraph 24.3.2.