Chinese reststelling

De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi (孫子) in zijn Sunzi Suanjing (孫子算經, het 'rekenkundig handboek van Meester Sun'). De stelling werd opnieuw in 1247 gepubliceerd, nu door de Chinese wiskundige Qin Jiushao, in zijn "Wiskundige verhandeling in negen secties".

Laat ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$ positieve gehele getallen zijn die paarsgewijs relatief priem zijn (wat wil zeggen dat geen tweetal een gemeenschappelijke deler heeft anders dan 1). Dan geldt voor elk ${\displaystyle k}$-tal gehele getallen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$, dat er een geheel getal ${\displaystyle x}$ bestaat dat oplossing is van het systeem van simultane congruenties:

${\displaystyle x\equiv a_{i}{\bmod {n}}_{i},\quad i=1,\ldots ,k}$

Bovendien zijn alle oplossingen ${\displaystyle x}$ van dit systeem onderling congruent modulo het product ${\displaystyle n=n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}}$.

Een oplossing ${\displaystyle x}$ wordt als volgt gevonden. Voor elke ${\displaystyle i}$ zijn de gehele getallen ${\displaystyle n_{i}}$ en ${\displaystyle N_{i}=n/n_{i}}$ relatief priem, zodat er, gebruikmakend van (een uitbreiding van) het Euclidische algoritme gehele getallen ${\displaystyle r_{i}}$ en ${\displaystyle s_{i}}$ te vinden zijn, waarvoor geldt:

${\displaystyle r_{i}\cdot n_{i}+s_{i}\cdot N_{i}=1}$

Noem nu ${\displaystyle e_{j}=s_{j}\cdot N_{j}}$, dan is: ${\displaystyle e_{i}\equiv 1{\bmod {n}}_{i}}$ en ${\displaystyle e_{i}\equiv 0{\bmod {n}}_{j}}$ voor alle ${\displaystyle j\neq i}$.

Het getal ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{k}a_{i}e_{i}}$ vormt dan de gevraagde oplossing van het systeem van simultane congruenties.

Beschouw bij wijze van voorbeeld het vraagstuk dat een geheel getal x wordt gezocht waarvoor geldt dat

${\displaystyle x\equiv 2{\pmod {3}}}$

${\displaystyle x\equiv 3{\pmod {4}}}$

${\displaystyle x\equiv 2{\pmod {5}}}$,

dat wil zeggen zoek een getal (bedoeld wordt: het kleinste getal) dat bij deling door 3 een rest van 2 overlaat, bij deling door 4 een rest van 3 en bij deling door 5 een rest van 2.

Toepassen van (een uitbreiding van) het Euclidische algoritme voor 3 en 4 x 5 = 20, levert op (-13) x 3 + 2 x 20 = 1 (${\displaystyle e_{1}=40}$). Toepassen van het Euclidische algoritme voor 4 en 3 x 5 = 15, levert op (-11) x 4 + 3 x 15 = 1 (${\displaystyle e_{2}=45}$). En toepassing van het Euclidische algoritme voor 5 en 3 x 4 = 12, geeft 5 x 5 + (-2) x 12 = 1 (${\displaystyle e_{3}=-24}$). Een oplossing x is daarom bijvoorbeeld 2 x 40 + 3 x 45 + 2 x (-24) = 167. Alle andere oplossingen zijn congruent met 167 modulo 60, en dus alle congruent met 47 modulo 60, m.a.w. het gezochte getal is 47.

Merk op dat sommige systemen van de vorm (1) zelfs oplosbaar zijn wanneer de getallen n_i niet paarsgewijs relatief priem zijn. Het exacte criterium is als volgt: er bestaat een oplossing x dan en slechts dan als a_i ${\displaystyle \equiv }$ a_j (mod ggd(n_i, n_j)) voor alle i en j. Alle oplossingen x zijn congruent modulo het kleinste gemene veelvoud van de n_i.

• (en) Ch'in Chiu-Shao