Symmetrische matrix

Een vierkante matrix ${\displaystyle A}$ noemt men symmetrisch als

${\displaystyle A^{\top }=A}$

of in termen van de elementen, als voor alle ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle k}$ geldt dat

${\displaystyle a_{rk}=a_{kr}}$

De lineaire afbeelding bepaald door een symmetrische matrix heeft een orthonormale basis van eigenvectoren. De karakteristieke veelterm heeft dan enkel reële oplossingen. Een symmetrische matrix is dus orthogonaal diagonaliseerbaar. Immers, stel dat ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ eigenvectoren zijn bij verschillende eigenwaarden λ respectievelijk μ van de symmetrische matrix ${\displaystyle A}$, dan:

${\displaystyle \lambda \mu \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,\mu y\rangle =\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{\top }Ay\rangle =\mu ^{2}\langle x,y\rangle }$

Omdat ${\displaystyle \lambda \neq \mu }$ kan dit alleen als:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$

Voorbeelden van symmetrische matrices zijn:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&5&-1{,}7\\5&16&3\\-1{,}7&3&5\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}8&2&9{,}8&-47\\2&0&-24&7\\9{,}8&-24&82&3{,}142\\-47&7&3{,}142&-35\end{bmatrix}}}$

Een speciaal type symmetrische matrix is een diagonaalmatrix, waarvan de eenheidsmatrix een eenvoudig voorbeeld is.

• Hermitische matrix
• Antisymmetrische matrix
• Orthogonale matrix
• Symmetrische tensor