Indicator (getaltheorie)
In de getaltheorie is de indicator of totiënt van een positief natuurlijk getal , genoteerd als , het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan die onderling ondeelbaar zijn met . Zo is bijvoorbeeld , omdat van elk van de vier oneven getallen 1, 3, 5 en 7 de grootste gemene deler met 8 gelijk is aan 1 en daarom onderling ondeelbaar met 8 worden genoemd. Voor een priemgetal is .
De indicator wordt veelal in verband gebracht met de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die deze functie uitgebreid bestudeerde.
De indicator geeft ook de omvang aan van de multiplicatieve groep van natuurlijke getallen modulo . Meer precies is de orde van de vermenigvuldigingsgroep van de omkeerbare elementen in de ring . Dit feit, samen met de stelling van Lagrange over de orde van een deelgroep, geeft een bewijs voor de stelling van Euler.
Berekening van de indicator
Uit de definitie volgt dat en voor priemgetallen . Bovendien is een multiplicatieve functie: als en onderling ondeelbaar zijn, is . (Schets van het bewijs: Zij de verzameling residuklassen modulo-en-onderling-ondeelbaar-tot respectievelijk; dan is er een bijectie tussen en via de Chinese reststelling.)
De waarde van kan dus berekend worden met de hoofdstelling van de rekenkunde. Als
waarin de verschillende priemgetallen zijn, dan is
Deze laatste formule is een euler-product en wordt meestal geschreven als
met het product over alle priemgetallen die deler zijn van .
Andere eigenschappen
Het getal is ook gelijk aan het aantal generators van de cyclische groep . Omdat ieder element van een cyclische deelgroep genereert en de deelgroepen van van de vorm zijn waarin deler is van (geschreven als ), geldt:
waarin de som zich uitstrekt over alle positieve delers van .
Met behulp van de möbius-inversieformule kan deze som omgedraaid worden om een andere formule te krijgen voor
- ,
waarin de gebruikelijke möbiusfunctie gedefinieerd over de positieve natuurlijke getallen.
Als onderling ondeelbaar is met , d.w.z , dan is
Voortbrengende functies
Een Dirichlet-reeks met is
Een Lambert-rij voortbrengende functie is
- ,
geldig voor alle .
Groei van de functie
De groei van als een functie van is een interessante vraag, omdat de eerste indruk dat bij een kleine veel kleiner is dan ietwat misleidend is. Asymptotisch geldt
voor iedere en . Het quotiënt:
kan via bovenstaande formule geschreven worden als het product van factoren
over de priemgetallen die delen. Uit de priemgetalstelling kan aangetoond worden dat voor constante dit vervangen kan worden door
Dit is ook waar in het gemiddelde:
waarin de grote O een Landau-symbool is.
Enkele functiewaarden
n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | n | φ(n) | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 11 | 10 | 21 | 12 | 31 | 30 | 41 | 40 | 51 | 32 | 61 | 60 | 71 | 70 | |||||||
2 | 1 | 12 | 4 | 22 | 10 | 32 | 16 | 42 | 12 | 52 | 24 | 62 | 30 | 72 | 24 | |||||||
3 | 2 | 13 | 12 | 23 | 22 | 33 | 20 | 43 | 42 | 53 | 52 | 63 | 36 | 73 | 72 | |||||||
4 | 2 | 14 | 6 | 24 | 8 | 34 | 16 | 44 | 20 | 54 | 18 | 64 | 32 | 74 | 36 | |||||||
5 | 4 | 15 | 8 | 25 | 20 | 35 | 24 | 45 | 24 | 55 | 40 | 65 | 48 | 75 | 40 | |||||||
6 | 2 | 16 | 8 | 26 | 12 | 36 | 12 | 46 | 22 | 56 | 24 | 66 | 20 | 76 | 36 | |||||||
7 | 6 | 17 | 16 | 27 | 18 | 37 | 36 | 47 | 46 | 57 | 36 | 67 | 66 | 77 | 60 | |||||||
8 | 4 | 18 | 6 | 28 | 12 | 38 | 18 | 48 | 16 | 58 | 28 | 68 | 32 | 78 | 24 | |||||||
9 | 6 | 19 | 18 | 29 | 28 | 39 | 24 | 49 | 42 | 59 | 58 | 69 | 44 | 79 | 78 | |||||||
10 | 4 | 20 | 8 | 30 | 8 | 40 | 16 | 50 | 20 | 60 | 16 | 70 | 24 | 80 | 32 |
Zie ook
- Niettotiënt
- Nietcototiënt
- Hogelijk totiënt getal
- Hogelijk cototiënt getal
Referenties
- (en) Milton Abramowitz en Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See paragraph 24.3.2.