Eigenwaardevergelijking

Alleen vierkante matrices, dus matrices met evenveel rijen als kolommen, hebben eigenvectoren en eigenwaarden. De eigenwaardevergelijking is in dit geval:

${\displaystyle Ax=\lambda x}$

Een matrix met ${\displaystyle n}$ rijen en ${\displaystyle n}$ kolommen heeft ${\displaystyle n}$ complexe eigenwaarden, zelfs indien de matrix reële componenten bevat. Een eigenwaarde kan eventueel reëel zijn. Bij een symmetrische matrix zijn de eigenwaarden wel alle reëel. De eigenwaarden worden berekend door de karakteristieke vergelijking van de matrix op te lossen. Deze is:

${\displaystyle \mathrm {det} (A-\lambda \,I_{n})=0}$

waarin ${\displaystyle \mathrm {det} }$ staat voor determinant en ${\displaystyle I_{n}}$ de eenheidsmatrix is. Deze vergelijking wordt soms verkeerdelijk eigenwaardevergelijking genoemd. Het linkerlid van de vergelijking is een veelterm van graad ${\displaystyle n}$ in de onbekende ${\displaystyle \lambda }$ en heeft dus steeds exact ${\displaystyle n}$ oplossingen.

Een belangrijke eigenschap is dat elke lineaire combinatie van eigenvectoren met gelijke eigenwaarde, ook een eigenvector bij dezelfde eigenwaarde is. Deze eigenschap leidt tot het begrip eigenruimte.

De meest voorkomende operatoren bevatten de bewerking differentiëren, genoteerd met een hoofdletter ${\displaystyle \mathrm {D} }$.

• De eerste afgeleide als operator:

De eigenwaardevergelijking wordt dan:

${\displaystyle \mathrm {D} f=f'=\lambda \,f}$

De eigenfuncties zijn:

${\displaystyle f(x)=e^{\lambda x}}$

• De operator die de tweede afgeleide berekent wordt als ${\displaystyle D^{2}}$ genoteerd.

De eigenwaardevergelijking is:

${\displaystyle \mathrm {D} ^{2}f=f''=\lambda \,f}$

De eigenfuncties, met hun respectievelijke eigenwaarden, zijn:

${\displaystyle [\sin(kx);\lambda =-k^{2}];\quad [\cos(kx);\lambda =-k^{2}];\quad [e^{kx};\lambda =k^{2}]}$

Ook de hyperbolische functies ${\displaystyle \sinh(x)}$ en ${\displaystyle \cosh(x)}$ zijn eigenfuncties, maar deze zijn reeds vervat in de hierboven vermelde exponentiële functies. In een meer algemene vorm stemt deze operator overeen met de Laplaciaan.

De tijdsonafhankelijke niet-relativistische schrödingervergelijking voor een elektrisch geladen deeltje in een elektrostatische potentiaal ${\displaystyle V}$ wordt geschreven als:

${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\,\Delta \psi +V\psi =\mathrm {E} \psi }$

Hierin is ${\displaystyle \Delta }$ de laplace-operator, ${\displaystyle \psi }$ de golffunctie van het deeltje en ${\displaystyle \mathrm {E} }$ de totale energie van het deeltje.

Het linkerlid van de vergelijking wordt geschreven als

${\displaystyle \operatorname {H} \psi =-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta \psi +V\psi }$

waarin ${\displaystyle \operatorname {H} }$ de hamilton-operator is, een lineaire transformatie.

De bovenvermelde schrödingervergelijking is dus een eigenwaardevergelijking:

${\displaystyle \operatorname {H} \psi =\mathrm {E} \psi }$

De golfuncties zijn de eigenfuncties van de hamiltonoperator, en de eigenwaarden stemmen overeen met de totale energie van het deeltje.

De laplaciaan is een operator die in bolcoördinaten op een boloppervlak met straal 1 gegeven wordt door:

${\displaystyle \Delta \,f(\varphi ,\theta )={\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}$

De eigenfuncties ${\displaystyle Y}$ van deze operator zijn de sfereische harmonischen die veel toepassingen hebben in de wiskundige natuurkunde. Het zijn dus de oplossingen van de eigenwaardevergelijking:

${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=\lambda \,Y}$

De eigenfuncties worden gekenmerkt door twee parameters ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle l}$ en hebben de vorm:

${\displaystyle Y_{m}^{l}=N\,e^{jm\phi }\,P_{m}^{l}(\cos \theta )}$

Hierin is ${\displaystyle N}$ een normalisatieconstante en zijn de ${\displaystyle P_{m}^{l}(cos\theta )}$ de geassocieerde legendre-polynomen. De twee parameters ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle l}$ stemmen in de praktijk fysisch overeen met de gelijknamige orbitaalkwantumgetallen van het waterstofatoom: ${\displaystyle m}$ met het magnetisch kwantumgetal, en ${\displaystyle l}$ met het nevenkwantumgetal of impulsmomentkwantumgetal. De mogelijke waarden van ${\displaystyle l}$ zijn ${\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}$ met ${\displaystyle n}$ het hoofdkwantumgetal is. Voor ${\displaystyle m}$ zijn de mogelijke waarden ${\displaystyle -l,-(l-1),\ldots ,0,\ldots ,l-1,l}$.

Ook het radiale gedeelte van de golffunctie voldoet aan een eigenwaardevergelijking. De eigenfuncties zijn hier de laguerre-polynomen, gekenmerkt door twee parameters die overeenstemmen met het hoofdkwantumgetal ${\displaystyle n}$ en het nevenkwantumgetal ${\displaystyle l}$.