Punt-biseriële correlatiecoëfficiënt

Het uitgangspunt is een simultane verdeling van de stochastische variabelen ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$, waarvan ${\displaystyle Y}$ dichotoom is. Voor het gemak neemt men aan dat ${\displaystyle Y}$ de waarden 0 en 1 aanneemt. Het resultaat is voor alle andere waarden van ${\displaystyle Y}$ hetzelfde. De populatie kan opgedeeld gedacht worden in twee subpopulaties, een waarvoor ${\displaystyle Y=0}$ en een waarvoor ${\displaystyle Y=1}$. De populatiegemiddelden van ${\displaystyle X}$ in deze subpopulaties zijn respectievelijk ${\displaystyle \mu _{0}}$ en ${\displaystyle \mu _{1}}$, dus:

${\displaystyle \mu _{y}=E(X|Y=y)}$

Stel verder dat

${\displaystyle p=P(Y=1)}$

Dan is:

${\displaystyle EX=E(X|Y=0)(1-p)+E(X|Y=1)p=\mu _{0}(1-p)+\mu _{1}p}$

${\displaystyle EY=Ep}$

${\displaystyle \mathrm {var} (Y)=p(1-p)}$

en

${\displaystyle \mathrm {cov} (X,Y)=E(XY)-EXEY=}$

${\displaystyle =E(XY|Y=0)(1-p)+E(XY|Y=1)p-EXp=}$

${\displaystyle =\mu _{1}p-(\mu _{0}(1-p)+\mu _{1}p)p=(\mu _{1}-\mu _{0})p(1-p)}$

Dus

${\displaystyle \rho (X,Y)={\frac {\mathrm {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {p(1-p)}}}$

Voor een (aselecte) steekproef van omvang ${\displaystyle n}$ van paren waarnemingen ${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$, waarin ${\displaystyle Y}$ dichotoom is (voor het gemak weer met de waarden 0 en 1), berekent men de punt-biseriële correlatiecoëfficiënt ${\displaystyle r_{\text{pb}}}$ als:

${\displaystyle r_{\text{pb}}={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{0}}{S_{X}}}{\sqrt {\frac {N_{1}(n-N_{1})}{n(n-1)}}}}$,

waarin ${\displaystyle N_{1}}$ het aantal paren met ${\displaystyle Y=1}$ is en ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ en ${\displaystyle {\overline {X}}_{1}}$ respectievelijk de steekproefgemiddelden van de ${\displaystyle X}$-waarden bij ${\displaystyle Y=0}$ en ${\displaystyle Y=1}$ voorstellen. De grootheid ${\displaystyle S_{X}}$ is de steekproefstandaardafwijking van de ${\displaystyle X}$-waarden.

Afleiding:

${\displaystyle \sum X={\overline {X}}_{0}(n-N_{1})+{\overline {X}}_{1}N_{1}}$

${\displaystyle \sum Y=N_{1}}$

${\displaystyle \sum XY={\overline {X}}_{1}N_{1}}$

${\displaystyle \mathrm {S} _{Y}={\sqrt {\frac {N_{1}(n-N_{1})}{n(n-1)}}}}$

zodat:

${\displaystyle r_{pb}=r_{X,Y}={\frac {n\sum XY-\sum X\sum Y}{n(n-1)S_{X}S_{Y}}}={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{0}}{S_{X}}}{\sqrt {\frac {N_{1}(n-N_{1})}{n(n-1)}}},}$

De steekproefvariantie ${\displaystyle S_{X}^{2}}$ kan als volgt uiteengelegd worden:

${\displaystyle (n-1)S_{X}^{2}=\sum (X_{k}-{\overline {X}})^{2}=\sum _{Y=1}(X_{k}-{\overline {X}})^{2}+\sum _{Y=0}(X_{k}-{\overline {X}})^{2}=}$

${\displaystyle \sum _{Y=1}(X_{k}-{\overline {X}}_{1}+{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}})^{2}+\sum _{Y=0}(X_{k}-{\overline {X}}_{0}+{\overline {X}}_{0}-{\overline {X}})^{2}=}$

${\displaystyle \sum _{Y=1}(X_{k}-{\overline {X}}_{1})^{2}+\sum _{Y=1}({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}})^{2}+\sum _{Y=0}(X_{k}-{\overline {X}}_{0})^{2}+\sum _{Y=0}({\overline {X}}_{0}-{\overline {X}})^{2}=}$

${\displaystyle (N_{1}-1)S_{1}^{2}+N_{1}({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}})^{2}+(N_{0}-1)S_{0}^{2}+N_{0}({\overline {X}}_{0}-{\overline {X}})^{2}=}$

${\displaystyle (n-2)S_{p}^{2}+{\frac {N_{0}N_{1}}{n}}({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{0})^{2}}$

zodat:

${\displaystyle r_{pb}^{2}={\frac {{\frac {N_{0}N_{1}}{n}}({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{0})^{2}}{(n-2)S_{p}^{2}+{\frac {N_{0}N_{1}}{n}}({\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{0})^{2}}},}$

Daaruit b;ijkt enerzijds nog eens dat de waarde van ${\displaystyle r_{\text{pb}}}$ tussen -1 en 1 ligt, en anderzijds dat de punt-biseriële correlatiecoëfficiënt in feite niets anders doet dan de variantie tussen de beide groepen vergelijken met de variantie binnen de groepen.

• (en) meer informatie