Delingsalgebra

Een algebra ${\displaystyle D\neq \{0\}}$ over een lichaam/veld wordt een delingsalgebra genoemd als er voor elke twee elementen ${\displaystyle a,b\in D,a\neq 0}$ de vergelijkingen ${\displaystyle a\cdot x=b}$ en ${\displaystyle y\cdot a=b}$ eenduidige oplossingen ${\displaystyle x,y\in D}$ hebben.

Een element ${\displaystyle a\neq 0}$ kan als het ware uitgedeeld worden.

Een associatieve algebra over een lichaam is een delingsgalgebra dan en slechts dan als het een multiplicatief identiteitselement ${\displaystyle \neq 0}$ heeft en elke ${\displaystyle a,b\in D,a\neq 0}$ een multiplicatieve inverse heeft.

De meest bekende voorbeelden van associatieve delingsalgebra's zijn de eindig-dimensionale reële delingsalgebra's, d.w.z. algebra's over het lichaam ${\displaystyle \mathbb {R} }$ van de reële getallen die eindigdimensionaal zijn als een vectorruimte over de reële getallen. De stelling van Frobenius zegt dat er op isomorfisme na slechts drie van zulke algebra's bestaan: de reële getallen zelf (dimensie 1), de complexe getallen (dimensie 2) en de quaternionen (dimensie 4).

De kleine stelling van Wedderburn zegt dat elke eindige delingsalgebra een eindig lichaam/veld is.[1]

Over een algebraïsch gesloten lichaam ${\displaystyle K}$ (bijvoorbeeld de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} }$) zijn er geen eindig-dimensionale associatieve divisiealgebra's, behalve natuurlijk ${\displaystyle K}$ zelf.

Associatieve delingsalgebra's hebben geen nuldelers. Een eindig-dimensionale unitaire associatieve algebra (over elk willekeurig lichaam) is een delingsalgebra dan en slechts dan als deze delingsalgebra's geen nuldelers heeft.

Als ${\displaystyle A}$ een associatieve unitaire algebra over het lichaam ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle S}$ een simpele module over ${\displaystyle A}$ is, dan is de endomorfismering van ${\displaystyle S}$ een delingsalgebra over ${\displaystyle F}$; elke associatieve delingsalgebra over ${\displaystyle F}$ treedt op deze manier op.

Het centrum van een associatieve delingsalgebra ${\displaystyle D}$ over het lichaam ${\displaystyle K}$ is een lichaam dat ${\displaystyle K}$ bevat. De dimensie van zo'n algebra over zijn centrum is een perfect kwadraat (tenminste als dit centrum eindig is): het is gelijk aan het kwadraat van de dimensie van een maximaal deellichaam van ${\displaystyle D}$ over het centrum. Gegeven een lichaam ${\displaystyle F}$, kunnen de (isomorfisme klassen) van associatieve delingsalgebra's, waarvan het centrum ${\displaystyle F}$ is en die eindig-dimensionaal zijn over ${\displaystyle F}$, in een groep worden omgezet, de Brauer-groep van de lichaam ${\displaystyle F}$.

Een manier om eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's over willekeurige lichamen te construeren wordt gegeven door de quaternion algebra's (zie ook quaternionen).

Voor eindig-dimensionale associatieve delingsalgebra's zijn de belangrijkste gevallen die waar de ruimte een redelijke topologie heeft. Beschouw bijvoorbeeld de genormeerde delingsalgebra's en Banach-algebra's.

• Genormeerde delingsalgebra
• Delen
• Delingsring