Cycloïde

Een hypocycloïde is de cycloïde, die wordt geschreven wanneer een kleinere cirkel aan de binnenkant een grotere cirkel volgt. De deltoïde is er daar een van. Als men een punt kiest dat niet op maar binnen de kleinere cirkel ligt, dan wordt het resultaat een trochoïde genoemd. Een spirograaf schrijft trochoïden.

Wanneer de verhouding tussen de cirkelomtrekken een rationaal getal is, resulteert een rozet, zoals bij de deltoïde. Is de verhouding tussen de omtrekken een niet-rationaal getal, dan ontstaat een tussenvorm tussen rotatiesymmetrie van eindige orde en rotatiesymmetrie over iedere hoek: in een animatie is de figuur nooit af, er komen steeds lussen bij.

De hypocycloïde, Grieks: ὑπό, hupo, onder, werd in 1599 door Galilei ontdekt en daarna in 1525 door Albrecht Dürer, in 1674 door Rømer en in 1725 door Daniel Bernoulli bestudeerd.

Legenda:

${\displaystyle R}$ : omtrek van de buitencirkel

${\displaystyle r}$ : omtrek van de binnencirkel

Als ${\displaystyle R/r}$ als quotiënt van gehele getallen[2] wordt uitgedrukt is ${\displaystyle R}$ het aantal lobben van de rozet en ${\displaystyle r}$ het aantal omwentelingen waarin de figuur wordt voltooid.

De kromme wordt gedefinieerd door een parametervergelijking, waarbij:

${\displaystyle x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)}$

met ${\displaystyle R}$ de straal van de basiscirkel en ${\displaystyle r}$ de straal van de draaiende cirkel. Dit kan eenvoudig uitgedrukt worden in de verhouding ${\displaystyle q={R \over r}}$ van de beide stralen:

${\displaystyle x(\theta )=r\,((q-1)\cos \theta +\cos(q-1)\theta )}$

${\displaystyle y(\theta )=r\,((q-1)\sin \theta -\sin(q-1)\theta )}$

• De slinger van Foucault volgt deze kromme.
• Bij cirkels met een omtrekverhouding van 2:1 vormt de hypocycloïde een rechte lijn. Daarmee kan een draaiende beweging omgezet worden in een lineaire beweging.
• De trochoïde is te tekenen met een spirograaf. Deze wordt gebruikt voor het ontwerpen van geometrische patronen en als speelgoed.

Een epicycloïde.

Cardioïde

Dit is de kromme die een punt op een cirkel aflegt die over een grotere cirkel rolt. Het is een voorbeeld van een epicykel.

Twee voorbeelden:

• Cardioïde met ${\displaystyle R=r}$[3]
• Nefroïde met ${\displaystyle R=2r}$ in de vorm van een nier.

Hierin is ${\displaystyle R}$ de straal van de grote cirkel, ${\displaystyle r}$ van de kleine cirkel.

Er werd al in de klassieke oudheid aan epicycloïden, Oudgrieks: επί, epi, op, gerekend: Aristoteles en Ptolemaeus gebruikten deze kromme en de epicykels om de beweging van de planeten in hun geocentrisch systeem te kunnen verklaren.

De kromme werd verder nog bestudeerd door Rømer (1674), Girard Desargues, Charles Stephen, Daniel Bernoulli (1725), Dürer, Huygens, Leibniz, L'Hôpital, Euler, Halley, Isaac Newton. Deze laatste behandelde de lengte van de epicycloïden in zijn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Epicykels kunnen door een parametervergelijking worden gedefinieerd:

${\displaystyle x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

met ${\displaystyle R}$ de straal van de basiscirkel en ${\displaystyle r}$ de straal van de draaiende cirkel. Dit kan in de verhouding ${\displaystyle q={R \over r}}$ van de beide stralen:

${\displaystyle x(\theta )=r\,((q+1)\cos \theta -\cos(q+1)\theta )}$

${\displaystyle y(\theta )=r\,((q+1)\sin \theta -\sin(q+1)\theta )}$

worden uitgedrukt. Deze definitie lijkt dus veel op die van een hypocycloïde.