Cardioïde

De cardioïde (letterlijk: hartvormig) of hartkromme is een wiskundige planaire kromme die ontstaat door een cirkel met straal r te laten wentelen rond een even grote cirkel.

De constructie van een cardioïde (rood) met R = r = 1.

Vergelijkingen

De cardioïde kan, zoals alle curves, beschreven worden door een vergelijking. In de vergelijkingen is a geen variabele, maar een constante die afhangt van de grootte van de cardioïde.

Cartesische vergelijking

De vergelijking in Cartesiaanse coördinaten voor de cardioïde luidt:

\left(x^{2}+y^{2}+2ax\right)^{2}\,=\,4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,

Parametervergelijking

De parametervergelijking van de cardioïde wordt gegeven door:

x(t)=a(2\cos t-\cos 2t)\,

y(t)=a(2\sin t-\sin 2t)\,

Dit kan, aan de hand van goniometrische identiteiten, herschreven worden tot:

x(t)=2a\cos t\,(1-\cos t)\,

y(t)=2a\sin t\,(1-\cos t)\,

Poolcoördinaten

In poolcoördinaten wordt de kromme beschreven als:

r(\theta )=2a(1-\cos \theta )\,

waarbij $\theta \,$ de parameter t vervangt.

Oppervlakte

De oppervlakte, omsloten door de kromme, wordt gegeven door:

A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\ r(\theta )^{2}\ d\theta =2a^{2}\int _{0}^{2\pi }\ (1-\cos \theta )^{2}\ d\theta

wat kan herleid worden tot

A=6\pi a^{2}\,

Booglengte

De booglengte van de cardioïde met als poolcoördinaten

r(\theta )=2a(1-\cos \theta )\,

is gelijk aan

L=16a\,

Zie ook

Cycloïde
Nefroïde (voor een cirkel die om een twee keer zo grote cirkel rolt)

Externe links

(en) Cardioïde op MathWorld

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.