Clifford-algebra

De complexe getallen, de quaternionen en de octonionen zijn getalsystemen (delingsalgebra's met eenheid) met complexe eenheden, die gedefinieerd worden door middel van de Cayley-Dickson-constructie. Als vectorruimte over de reële getallen worden zij voortgebracht door het getal 1 en respectievelijk 1, 3 en 7 specifieke elementen ${\displaystyle i_{k}}$ die elk het getal -1 als kwadraat hebben: ${\displaystyle i_{k}^{2}=-1}$. Men zoekt ook naar soortgelijke structuren die de reële getallen bevatten en voor willekeurige ${\displaystyle n}$ voortbrengende elementen ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{n}}$ en waarop een product ${\displaystyle \circ }$ gedefinieerd is dat voldoet aan:

${\displaystyle i_{k}\circ i_{l}+i_{l}\circ i_{k}=2\sigma _{k}\delta _{kl},}$

waarin ${\displaystyle \delta _{kl}}$ de Kroneckerdelta is en ${\displaystyle \sigma _{k}=\pm 1.}$ Meestal schrijft men eenvoudigweg ${\displaystyle ab}$ in plaats van ${\displaystyle a\circ b.}$

Het product van alle voortbrengende elementen wordt met ${\displaystyle \omega }$ aangeduid:

${\displaystyle \omega =i_{1}i_{2}\ldots i_{n}~.}$

Voor het kwadraat van ${\displaystyle \omega }$ geldt dus:

${\displaystyle \omega ^{2}=\pm 1~.}$

Op de genoemde voorbeelden na kan een dergelijke structuur niet als een echt getalsysteem gerealiseerd worden, maar slechts als een associatieve algebra, die Clifford-algebra genoemd wordt.

We moeten anticommuterende matrices (AB = −BA) bestuderen omdat in Clifford algebra's orthogonale vectoren anticommuteren.

${\displaystyle A\cdot B={\frac {1}{2}}(AB+BA)=0}$

Voor Clifford algebra ${\displaystyle \mathbb {R} _{p,q}\,}$, hebben we p + q onderling anticommuterende matrices nodig, waarvan er p als kwadraat +1 hebben en q als kwadraat −1 hebben.

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{a}^{2}&=&+1&{\mbox{als}}&1\leq a\leq p\\\gamma _{a}^{2}&=&-1&{\mbox{als}}&p+1\leq a\leq p+q\\\gamma _{a}\gamma _{b}&=&-\gamma _{b}\gamma _{a}&{\mbox{als}}&a\neq b\ \\\end{matrix}}}$

Een dergelijke basis van gamma-matrices is niet uniek. Men kan altijd een andere verzameling van gamma-matrices vormen voor dezelfde Clifford algebra door een gelijkvormigheidstransformatie.

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{a'}&=&S&\gamma _{a}&S^{-1}\end{matrix}}}$

waarin S een niet-singuliere matrix is (determinant niet nul). De beide verzamelingen van gamma-matrices behoren tot dezelfde equivalentieklasse.

De volgende methode om 2ⁿ × 2ⁿ matrices te benoemen zal gebruikt worden:

${\displaystyle K_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},K_{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},K_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},K_{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Merk op dat K₀ de eenheidsmatrix is. De namen zijn zo gekozen dat men de vermenigvuldiging gemakkelijk kan onthouden:

K₁ K₂ = K₃

K₁ K₃ = K₂

K₂ K₃ = K₁

K₂ K₁ = −K₃

K₃ K₁ = −K₂

K₃ K₂ = −K₁.

Een stijgende index geeft een positief resultaat. Een dalende index geeft een negatief resultaat.

Opgelet! Dit zijn NIET dezelfde regels als die voor de vermenigvuldiging van de klassieke quaternionen. Als men stelt dat i = i₁, j = i₂ en k = i₃ dan zouden de regels zijn

i₁i₂=i₃

i₂i₃=i₁

i₃i₁=i₂

de laatste regel is verschillend. We zullen later zien dat de pure quaternionen i,j en k voorgesteld kunnen worden door K₁₂,K₂₀ en K₃₂

Bemerk dat

${\displaystyle K_{0}^{2}=K_{1}^{2}=K_{3}^{2}=K_{0}}$

${\displaystyle K_{2}^{2}=-K_{0}}$

K₂ is de enige met een negatief kwadraat, hij is de eenvoudigste matrixrepresentatie van het imaginair getal i

Nu is het eenvoudig om alle Kronecker-producten een naam te geven:

${\displaystyle K_{ab}=K_{a}\otimes K_{b}}$

${\displaystyle K_{abc}=K_{a}\otimes K_{bc}=K_{a}\otimes K_{b}\otimes K_{c}}$

Enkele voorbeelden

${\displaystyle K_{30}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},K_{11}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Elke index heeft zijn niveau ( 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, ...)

K₁₃ is een K₃ op niveau 2x2 en een K₁ op niveau 4x4. Met deze notatie is het zeer gemakkelijk om grote vierkant matrices te vermenigvuldigen vanwege de eigenschap van het Kronecker-product,

${\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD}$

Laat ons eens enkele voorbeelden uitwerken

K₁₂₃ K₂₂₂ = K₃₀₁

8x8-niveau 1 maal 2 geeft 3

4x4-niveau 2 maal 2 geeft 0 maar we onthouden een min-teken

2x2-niveau 3 maal 2 geeft 1 maar we onthouden opnieuw een min-teken

(de twee min-tekens neutraliseren elkaar, dus het resultaat is K₃₀₁)

Met deze methode kan men eenvoudig sets construeren van onderling anticommuterende orthogonale matrices ook wel Diracmatrices genoemd. Het is duidelijk dat twee dergelijke matrices anticommuteren als ze anticommuteren in een oneven aantal indices (index o commuteert met alle andere indices).

K₁₃ anticommuteert bijvoorbeeld met

K₀₁,K₀₂,K₁₁,K₁₂,K₂₀,K₂₃,K₃₀,K₃₃

en commuteert met

K₀₀,K₁₀,K₁₃,K₂₁,K₂₂,K₃₁,K₃₂.

Als de index 2 een even aantal keer in de naam voorkomt, dan is het kwadraat van de matrix plus de eenheidsmatrix. Noem een dergelijke matrix een Kplus.

voorbeelden zijn K₁, K₂₂, K₃₁₁, K₂₂₂₂

Als de index 2 een oneven aantal keren in de naam voorkomt, dan is het kwadraat min de eenheidsmatrix. Noem een dergelijke matrix een Kmin.

voorbeelden zijn K₂, K₂₂₂, K₂₁₁, K₁₂₂₂

Nu volgen eenvoudig de grootst mogelijke sets van onderling anticommuterende matrices.

Begin met een bestaande set {K₁,K₂,K₃}

Voeg een nieuwe index toe die voor alle matrices gelijk is (bijvoorbeeld een 1 in eerste positie) Dit geeft {K₁₁,K₁₂,K₁₃}

Het is mogelijk twee matrices toe te voegen die anticommuteren op het nieuwe niveau en commuteren op het oude niveau (door middel van index 0)

Dit geeft {K₁₁, K₁₂, K₁₃, K₂₀, K₃₀}

Andere voorbeelden

{K₂₁, K₂₂, K₂₃, K₁₀, K₃₀}

{K₃₁, K₃₂, K₃₃, K₁₀, K₂₀}

{K₁₁₁, K₁₁₂, K₁₁₃, K₁₂₀, K₁₃₀, K₂₀₀, K₃₀₀}

{K₂₁₁, K₂₁₂, K₂₁₃, K₂₂₀, K₂₃₀, K₁₀₀, K₃₀₀}

{K₃₁₁, K₃₁₂, K₃₁₃, K₃₂₀, K₃₃₀, K₁₀₀, K₂₀₀}

Men krijgt steeds een oneven aantal matrices en er is altijd één Kplus meer dan er Kmin zijn. Elk van deze matrices kan geschreven worden als het product van alle andere. Bijvoorbeeld K₁₁ K₁₂ K₁₃ K₂₀ = K₃₀

Nu volgen eerst enkele algebra's met stijgend aantal basisvectoren, nadien volgt een uiteenzetting over de periodiciteit in de representaties van de reële Clifford algebra's.

p = 2 en q =0 dus hebben we 2 Kplus nodig als basisvectoren

graad 0 (het scalair)

${\displaystyle {\begin{matrix}1=K_{0}\end{matrix}}}$

graad 1 (de vectoren)

${\displaystyle \gamma _{1}=K_{1}\Rightarrow \gamma _{1}^{2}=K_{0}=1}$

${\displaystyle \gamma _{2}=K_{3}\Rightarrow \gamma _{2}^{2}=K_{0}=1}$

graad 2 (het pseudoscalair)

${\displaystyle \gamma _{1}\land \gamma _{2}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}\gamma _{2}-\gamma _{2}\gamma _{1})=\gamma _{1}\gamma _{2}=K_{2}\Rightarrow (\gamma _{1}\land \gamma _{2})^{2}=(\gamma _{1}\gamma _{2})^{2}=K_{2}^{2}=-1}$

n = p + q = 2 en we hebben 2² = 4 elementen, dus is het wat I. Porteous noemt een universele Clifford algebra.

De elementen met even graad ( graad 0 en graad 2) vormen de deelalgebra van de complexe getallen.

Elk complex getal a + bi komt overeen met ${\displaystyle aK_{0}+bK_{2}}$

p = 1 en q = 1 dus hebben we 1 Kplus en 1 Kmin als basisvectoren

graad 0 (het scalair)

${\displaystyle {\begin{matrix}1=K_{0}\end{matrix}}}$

graad 1 (de vectoren)

${\displaystyle \gamma _{1}=K_{1}\Rightarrow \gamma _{1}^{2}=K_{0}=1}$

${\displaystyle \gamma _{2}=K_{2}\Rightarrow \gamma _{2}^{2}=-K_{0}=-1}$

graad 2 (het pseudoscalair)

${\displaystyle \gamma _{1}\land \gamma _{2}=\gamma _{1}\gamma _{2}=K_{3}\Rightarrow (\gamma _{1}\land \gamma _{2})^{2}=(\gamma _{1}\gamma _{2})^{2}=K_{3}^{2}=K_{0}=1}$

Hier hebben we opnieuw 2ⁿ elementen in de algebra met n = p + q dus is het opnieuw een universele Clifford algebra

p = 2 en q = 1 dus hebben we 2 Kplus basisvectoren en 1 Kmin basisvector

graad 0 (het scalair)

${\displaystyle {\begin{matrix}1=K_{0}\end{matrix}}}$

graad 1 (de vectoren)

${\displaystyle \gamma _{1}=K_{1}\Rightarrow \gamma _{1}^{2}=K_{0}=1}$

${\displaystyle \gamma _{2}=K_{3}\Rightarrow \gamma _{2}^{2}=K_{0}=1}$

${\displaystyle \gamma _{3}=K_{2}\Rightarrow \gamma _{3}^{2}=-K_{0}=-1}$

De signatuur is ( + + - )

graad 2 (de bivectoren)

${\displaystyle \gamma _{1}\land \gamma _{2}=\gamma _{3}=K_{2}\Rightarrow (\gamma _{1}\land \gamma _{2})^{2}=-1}$

${\displaystyle \gamma _{1}\land \gamma _{3}=\gamma _{2}=K_{3}\Rightarrow (\gamma _{1}\land \gamma _{3})^{2}=+1}$

${\displaystyle \gamma _{2}\land \gamma _{3}=-\gamma _{1}=-K_{1}\Rightarrow (\gamma _{2}\land \gamma _{3})^{2}=+1}$

graad 3 (het pseudoscalair)

${\displaystyle \gamma _{1}\land \gamma _{2}\land \gamma _{3}=-1\Rightarrow (\gamma _{1}\land \gamma _{2}\land \gamma _{3})^{2}=(-1)^{2}=+1}$

Dit is het eerste voorbeeld van een niet-universele Clifford algebra omdat p + q = 3 en we toch maar 2² elementen hebben en niet 2³. Elke matrix wordt namelijk 2 maal gebruikt, een keer als vector en een keer als bivector. Het pseudoscalair is min het scalair.

Hier is p = 0 en q = 2 dus hebben we 2 anticommuterende Kmin-matrices als basisvectoren. Dit is onmogelijk met reële 2×2 matrices dus moeten we 4×4 matrices gebruiken, er zijn vele mogelijkheden. Deze algebra is isomorf met de ring H van de quaternionen.

graad 0 (het scalair)

${\displaystyle {\begin{matrix}1=K_{00}\end{matrix}}}$

graad 1 (de vectorenthe)

${\displaystyle \gamma _{1}=K_{12}\Rightarrow \gamma _{1}^{2}=-K_{00}=-1}$

${\displaystyle \gamma _{2}=K_{20}\Rightarrow \gamma _{2}^{2}=-K_{00}=-1}$

De Signatuur is (− −)

graad 2 (het pseudoscalair)

${\displaystyle \gamma _{1}\land \gamma _{2}=K_{12}K_{20}=K_{32}\Rightarrow (\gamma _{1}\land \gamma _{2})^{2}=K_{32}^{2}=-K_{00}=-1}$

Het isomorfisme met de quaternionen gaat als volgt:

1 is scalair, i en j zijn vectoren en k = ij is het pseudoscalair.

Elk Cliffordgetal is een lineaire combinatie van de vier elementen 1, i, j and k

${\displaystyle {\begin{matrix}1=K_{00},&i=K_{12},&j=K_{20}&k=K_{32}\end{matrix}}}$

Het gebruik van k als pseudoscalair ( i maal j ) is een beetje vreemd maar volstrekt correct.

p = 0 and q = 3 dus hebben we 3 Kmin basisvectoren, dit is de meer gebruikelijke manier van werken met de quaternionen i, j en k zijn nu vectoren en ijk = -1 is het pseudoscalair. Ook deze algebra is isomorf met de quaternionen.

graad 0 (het scalair)

${\displaystyle {\begin{matrix}1=K_{0}\end{matrix}}}$

graad 1 (de vectoren)

${\displaystyle \gamma _{1}=K_{12}=i\Rightarrow \gamma _{1}^{2}=-K_{00}=-1}$

${\displaystyle \gamma _{2}=K_{20}=j\Rightarrow \gamma _{2}^{2}=-K_{00}=-1}$

${\displaystyle \gamma _{3}=K_{32}=k\Rightarrow \gamma _{3}^{2}=-K_{00}=-1}$

De signatuur is ( - - - )

graad 2 (de bivectoren)

${\displaystyle \gamma _{1}\land \gamma _{2}=K_{12}K_{20}=K_{32}=\gamma _{3}}$

${\displaystyle \gamma _{3}\land \gamma _{1}=K_{32}K_{12}=K_{20}=\gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{2}\land \gamma _{3}=K_{20}K_{32}=K_{12}=\gamma _{1}}$

graad 3 (het pseudoscalair)

${\displaystyle \gamma _{1}\land \gamma _{2}\land \gamma _{3}=K_{12}K_{20}K_{32}=-K_{00}=-1}$

Een Cliffordgetal is hier opnieuw een lineaire combinatie van de 4 elementen 1 i j en k. Het gebruik van -1 als pseudoscalair (ijk) is zoals we het gewoon zijn, maar het maakt dat deze algebra een nieuw voorbeeld is van een niet-universele Clifford algebra, omdat p + q = 3 en we slechts 2² verschillende elementen hebben die dubbel gebruikt worden.

Deze is gelijk aan de befaamde Paulialgebra, als men K₀₂ laat fungeren als i en K₀₀ als 1. We hebben 3 Kplus als basisvectoren.

graad 0 (het scalair)

${\displaystyle {\begin{matrix}1=K_{0}\end{matrix}}}$

graad 1 (de vectoren)

${\displaystyle \gamma _{1}=K_{10}=\sigma _{1}\Rightarrow \gamma _{1}^{2}=K_{00}=+1}$

${\displaystyle \gamma _{2}=K_{22}=\sigma _{2}\Rightarrow \gamma _{2}^{2}=K_{00}=+1}$

${\displaystyle \gamma _{3}=K_{30}=\sigma _{3}\Rightarrow \gamma _{3}^{2}=K_{00}=+1}$

De signatuur is ( + + + )

graad 2 (bivectoren)

${\displaystyle \sigma _{1}\land \sigma _{2}=K_{10}K_{22}=K_{32}=K_{02}K_{30}=i\sigma _{3}}$

${\displaystyle \sigma _{3}\land \sigma _{1}=K_{30}K_{10}=-K_{20}=K_{02}K_{22}=i\sigma _{2}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\land \sigma _{3}=K_{22}K_{30}=K_{12}=K_{02}K_{10}=i\sigma _{1}}$

graad 3 (pseudoscalair)

${\displaystyle \sigma _{1}\land \sigma _{2}\land \sigma _{3}=K_{10}K_{22}K_{30}=K_{02}=i}$