Booglengte

Voor een klein stukje ${\displaystyle \Delta s}$ kan de booglengte met de stelling van Pythagoras benaderd worden

Voor een kromme in het platte vlak, gegeven door de coördinaatsfuncties ${\displaystyle x(t)}$ en ${\displaystyle y(t)}$ wordt de booglengte bepaald door een infinitesimaal klein stukje ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ van de kromme te integreren. Voor een klein stukje ${\displaystyle \Delta s}$ geldt bij goede benadering volgens de stelling van Pythagoras:

${\displaystyle \Delta s^{2}\approx \Delta x^{2}+\Delta y^{2}}$.

In de limiet is:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}$,

zodat:

${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t}$,

mits natuurlijk de afgeleiden bestaan.

In het geval van een expliciete functie ${\displaystyle y(x)}$ wordt dit:

${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x}$,

en in poolcoördinaten:

${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\rho ^{2}(\theta )+\left({\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}}}\mathrm {d} \theta }$,

De booglengte ${\displaystyle s(t_{0})}$ van de kromme tot aan het punt ${\displaystyle t=t_{0}}$ wordt dan:

${\displaystyle s(t_{0})=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t}$

Betreft de kromme de grafiek van een (differentieerbare) functie ${\displaystyle f,}$ dan kan deze formule herschreven worden door de variabele ${\displaystyle x}$ als parameter te kiezen. De booglengte ${\displaystyle L}$ van ${\displaystyle x=a}$ tot ${\displaystyle x=b}$ wordt dan:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\mathrm {d} x}$.

Zelfs in de meeste eenvoudige gevallen bestaat er vaak geen gesloten vorm van deze integraal en moet er numeriek geïntegreerd worden.

Als een kromme gedefinieerd wordt door een differentieerbare functie ${\displaystyle f}$ van een reële parameter ${\displaystyle t,}$ dan noemen we deze parametrisering regulier als de afgeleide van ${\displaystyle f}$ nergens nul wordt op het beschouwde interval.

Bij een reguliere kromme is de functie

${\displaystyle s:[0,t_{0}]\to \mathbb {R} :t\mapsto \int _{0}^{t}\|f'(r)\|\mathrm {d} r}$

differentieerbaar, strikt stijgend en haar afgeleide ${\displaystyle s'(r)=\|f'(r)\|}$ is overal strikt positief. Haar inverse functie

${\displaystyle s^{-1}:[0,s(t_{0})]\to \mathbb {R} }$

is eveneens strikt stijgend en differentieerbaar met positieve afgeleide. Dat betekent dat we de oorspronkelijke kromme ${\displaystyle f}$ kunnen herparametriseren in termen van de booglengte ${\displaystyle s.}$ De nieuwe kromme

${\displaystyle g:[0,s(t_{0})]\to X:r\mapsto f(s^{-1}(r))}$

heeft dezelfde beeldverzameling in ${\displaystyle X}$ als de oorspronkelijke kromme ${\displaystyle f,}$ maar ze heeft ook de bijkomende eigenschap dat haar snelheidsvector overal de lengte een heeft:

${\displaystyle \|g'(r)\|=\|f'(s^{-1}(r)).(\mathrm {d} s^{-1}/\mathrm {d} r)\|=\left\|{f'(s^{-1}(r)) \over (\mathrm {d} s/\mathrm {d} t)(s^{-1}(r))}\right\|={\|f'(s^{-1}(r))\| \over \|f'(s^{-1}(r))\|}=1}$

Boog (meetkunde) voor de berekening van de booglengte van een cirkel.