Betegeling

Een betegeling of tessellatie van een vlak staat voor een collectie van vormen die dit vlak in zijn geheel opvullen zonder dat sommige tegels elkaar mogen overlappen. Men spreekt ook van betegelingen van delen van een vlak of van andere oppervlaktes. Ook zijn generalisaties naar hogere dimensies mogelijk. M. C. Escher maakt in zijn kunst veel gebruik van betegelingen. Door de hele kunstgeschiedenis, van de architectuur uit de Oudheid tot in de moderne kunst, zien we betegelingen terugkomen.

Betegelde straat

In het Latijn was een tessella een klein kubusvormig stukje van klei, steen of glas dat werd gebruikt om mozaïeken te leggen.[1] Het woord "tessella" betekent "klein vlak" (van "tessera", vierkant, wat op zijn beurt van het Griekse woord voor "vier" komt). Het woord heeft goeddeels dezelfde lading als het meer alledaagse woord betegeling, dat verwijst naar toepassingen van tesselaties van geglazuurde wandtegels in bijvoorbeeld badkamers.

Wiskunde

Voor een betegeling met veelhoeken gelden de begrippen isogonaal, isotoxaal, isohedraal, regelmatig, uniform en halfregelmatig analoog aan die voor een niet-zelfdoorsnijdend niet-samengesteld veelvlak:

Een betegeling is isogonaal als er voor elk tweetal hoekpunten P, Q van het veelvlak een isometrie bestaat die de betegeling op zichzelf afbeeldt en daarbij P op Q afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat in alle hoekpunten dezelfde soorten zijvlakken bij elkaar komen, in dezelfde of omgekeerde cyclische volgorde.

Een veelvlak is isotoxaal als er voor elk tweetal zijden R, S van de betegeling een isometrie bestaat die de betegeling op zichzelf afbeeldt en daarbij R op S afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat in alle zijden dezelfde soorten zijvlakken bij elkaar komen.

Een betegeling is isohedraal als er voor elk tweetal veelhoeken V, W van de betegeling een isometrie bestaat die de betegeling op zichzelf afbeeldt en daarbij V op W afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat alle veelhoeken congruent zijn.

Een betegeling is regelmatig als deze isogonaal, isotoxaal en isohedraal is. Een nodige voorwaarde is dat deze uitsluitend identieke regelmatige veelhoeken heeft.

Een betegeling is uniform als deze uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak heeft, en isogonaal is. De hoekpuntconfiguratie geeft daarbij aan welke zijvlakken in een hoekpunt samenkomen, bijvoorbeeld 4.8.8 als steeds een vierkant en twee regelmatige achthoeken samenkomen.

Een uniforme betegeling is halfregelmatig als deze niet regelmatig is.

Behangpatroongroepen

Tegels met translatiesymmetrie kunnen worden gecategoriseerd door behangpatroongroepen. Hiervan bestaan er precies 17. Alle zeventien van deze patronen zijn teruggevonden in het Alhambra paleis in Granada in Spanje. Van de drie regelmatige betegelingen (zie hieronder) vallen er twee in de categorie p6m en een in de categorie p4m.

Als het figuur bestaat uit punten verbonden door lijnstukken, dan is per oppervlakte-eenheid het aantal lijnstukken gelijk aan het aantal punten plus het aantal veelhoeken waarin het vlak wordt verdeeld (de euler-karakteristiek van de polygonalisatie van een deel van het vlak zonder gaten is 1, bij uitbreiding naar het hele vlak wordt deze per oppervlakte-eenheid nul).

Regelmatige betegeling

Er zijn behoudens isometrie en schaling drie regelmatige betegelingen, namelijk die met de hoekpuntconfiguratie 3.3.3.3.3.3, 4.4.4.4 en 6.6.6:

met gelijkzijdige driehoeken
met vierkanten
met regelmatige zeshoeken, de honingraatstructuur

De eerste en derde zijn elkaars duale (de middelpunten van de veelhoeken van de een zijn behoudens schaling en rotatie de hoekpunten van de ander), de tweede is zelfduaal. De eerste en derde hebben dus ook dezelfde symmetriegroep (zie ook hierboven).

Het aantal -hoeken die in elk hoekpunt bij elkaar komen, is

.

Bij een regelmatige vlakvulling met regelmatige -hoeken moet dus deler van 4 zijn, d.w.z. 1, 2 of 4. De bovenstaande mogelijkheden zijn dus de enige. De verhouding van het aantal hoekpunten, het aantal zijden en het aantal -hoeken is Voor gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige zeshoeken respectievelijk 1:3:2, 1:2:1 en 2:3:1.

Zie ook de bijbehorende translatieroosters.

Betegeling met identieke tegels

Betegelingen met identieke tegels kunnen met drie-, vier-, vijf- en zeshoeken worden gemaakt. Met alle drie- en vierhoeken kan het vlak worden gevuld. Er zijn tot nu toe vijftien convexe vijfhoeken gevonden waarmee het vlak kan worden gevuld. Mogelijk zijn er nog meer vijfhoeken waarmee het vlak kan worden gevuld. Het is bewezen dat er drie soorten zeshoeken zijn waarmee het vlak kan worden gevuld, maar dat er geen veelhoeken met meer dan zes hoeken zijn, waarmee datzelfde mogelijk is.[2]

Noten
  1. Tessellate, Merriam-Webster Online
  2. A vd Brandhof NRC Handelsblad. "De vijftiende vlakvullende vijfhoek", 14 augustus 2015.

Referenties
  • Coxeter, H.S.M.. Regular Polytopes (Reguliere polytopen), Sectie IV : Tessellations and Honeycombs (Betegelingen en honingraten). Dover, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
  • Grunbaum, Branko en G. C. Shephard. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman & Co., 1987. ISBN 0-7167-1193-1.
Zie de categorie Tessellations van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.