Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)

Net als elk lichaam is ook een eindig lichaam een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling (delen door nul is niet gedefinieerd), waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (dat wil zeggen dat het resultaat van de bewerking een element moet zijn in de eindige verzameling van elementen). Bovendien zijn optelling en vermenigvuldiging beide associatief en commutatief, en is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Als optellen of vermenigvuldigen wordt toegepast op de normale manier, is de verzameling ofwel niet gesloten en dus geen lichaam, of een oneindig groot lichaam, want met 1 zijn ook 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 etc. elementen van het lichaam. Om deze reden worden de normale operaties niet gebruikt, maar worden in eindige lichamen alle operaties modulo een priemgetal ${\displaystyle p}$ uitgevoerd, dat de karakteristiek van het lichaam heet.

De orde of kardinaliteit van een eindig lichaam is het aantal elementen van het lichaam. Omdat elk niet-nul element uit een lichaam een invers element voor de vermenigvuldiging moet hebben, bestaat er niet voor elke orde een eindig lichaam. De verzameling van niet-nul-elementen van een lichaam ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$ en wordt de multiplicatieve groep van het lichaam genoemd.

Een priemlichaam[1] is een lichaam dat geen van zichzelf verschillende deellichamen bevat. Af te leiden is dat voor een eindig lichaam dat tevens een priemlichaam is, geldt dat het aantal elementen een priemgetal is. Voor ieder priemgetal p geldt dat ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, de natuurlijke getallen ${\displaystyle \{0,1,\dots ,p-1\}}$ met optellen en vermenigvuldigen modulo p, een voorbeeld is van een priemlichaam met p elementen.

Een uitbreidingslichaam of extensielichaam is een eindig lichaam ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}$ waarvoor m ≠ 1. Het voorbeeld hierboven laat zien dat ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ niet een lichaam is, maar ${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{2}}}$. Een lichaam met 4 elementen moet kennelijk op een andere manier worden geconstrueerd als uitbreidingslichaam van ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Uitbreidingslichamen kunnen gezien worden als een ${\displaystyle m}$-dimensionale vectorruimte over het lichaam ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} _{p}}$. Een element ${\displaystyle \beta \in \mathbb {F} _{p^{m}}}$ van een uitbreidingslichaam kan uniek worden geschreven als ${\displaystyle \beta =b_{m-1}\alpha ^{m-1}+\ldots +b_{1}\alpha +b_{0}}$. Hierin is ${\displaystyle \alpha }$ de wortel van een irreducibele ${\displaystyle m}$-de graadspolynoom a(x) over het lichaam ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$; de coëfficiënten ${\displaystyle b_{i}}$ zijn elementen van ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$.

Optellen en aftrekken in een uitbreidingslichaam is gewoonweg modulo rekenen in meerdere dimensies, maar vermenigvuldigen en delen is niet op deze manier te definiëren; hiervoor wordt de irreducibele polynoom a(x) gebruikt dat analoog wordt toegepast als de p bij het modulorekenen in het eendimensionale geval: de twee te vermenigvuldigen polynomen (elementen van ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$) worden op de normale manier met elkaar vermenigvuldigd maar het resultaat wordt modulo de polynoom ${\displaystyle a(\alpha )}$ genomen.

In een eindig lichaam kunnen alle multiplicatieve inversen gevonden worden door eenmalig een complete vermenigvuldigingstabel op te stellen en bij een element ${\displaystyle x}$ het element ${\displaystyle y}$ te zoeken waarvoor geldt: ${\displaystyle x\cdot y\equiv 1{\bmod {p}}}$

De polynoom ${\displaystyle a(\alpha )}$ heet ook wel de reductiepolynoom.

Elk eindig lichaam heeft ten minste één element α waarvoor geldt ${\displaystyle \alpha ^{q-1}=1}$ en ${\displaystyle \alpha ^{n}\neq 1}$ voor ${\displaystyle 1<n<q-1}$. Zo'n α wordt een primitief element genoemd. Een primitief element is voortbrenger van de multiplicatieve groep van het lichaam, die dus bestaat uit de machten van het primitieve element.

Een voorbeeld van een eindig lichaam is ${\displaystyle \mathbb {F} _{16}=\mathbb {F} _{2^{4}}}$ dat 16 elementen heeft. Om dit lichaam te construeren moet als eerste worden gezocht naar een irreducibel polynoom ${\displaystyle p(x)}$ over ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ met graad 4. Een van de wortels van deze polynoom krijgt de naam ${\displaystyle \alpha }$. Ieder element van ${\displaystyle \mathbb {F} _{16}}$ kan nu worden voorgesteld als een derdegraadspolynoom in ${\displaystyle \alpha }$ over ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$. Het is duidelijk dat er 16 dergelijke polynomen bestaan. De optelling is nu identiek aan de optelling in een 4-dimensionale lineaire vectorruimte over ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$. De vermenigvuldiging is gedefinieerd als de vermenigvuldiging voor polynomen.

Voor het vinden van een irreducibel vierdegraadspolynoom over ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ is het handig te weten welke de irreducibele polynomen van lagere graad zijn. De situatie is vergelijkbaar met het zoeken naar priemgetallen. De irreducibele polynomen van lagere graad zijn:

• graad 1: ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle x+1}$
• graad 2: ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ (de overige tweedegraadspolynomen zijn deelbaar door ${\displaystyle x}$, door ${\displaystyle x+1}$, of door beide.
• graad 3: ${\displaystyle x^{3}+x+1}$ en ${\displaystyle x^{3}+x^{2}+1}$

Nu kan een irreducibel polynoom van de graad 4 worden gezocht. Een polynoom die niet deelbaar is door bovengenoemde polynomen (en dus irreducibel is) is: ${\displaystyle p(x)=x^{4}+x+1}$. De vermenigvuldiging van twee elementen uit ${\displaystyle \mathbb {F} _{16}}$, voor te stellen door ${\displaystyle a_{3}\alpha ^{3}+a_{2}\alpha ^{2}+a_{1}\alpha +a_{0}}$ en ${\displaystyle b_{3}\alpha ^{3}+b_{2}\alpha ^{2}+b_{1}\alpha +b_{0}}$, is dus nu gedefinieerd door deze twee polynomen in ${\displaystyle \alpha }$ met elkaar te vermenigvuldigen (over ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$), en het resultaat te reduceren tot een derdegraadspolynoom (of lageregraads) in ${\displaystyle \alpha }$, gebruik makend van de identiteit ${\displaystyle p(\alpha )=\alpha ^{4}+\alpha +1=0}$.

• http://mathworld.wolfram.com/FiniteField.html (Engels)