Voetpuntsdriehoek
Onder de voetpuntsdriehoek kunnen twee begrippen verstaan worden:
Voetpuntsdriehoek van een driehoek
De voetpuntsdriehoek van een driehoek bestaat uit de loodrechte projecties van zijn hoekpunten op de overstaande zijden (opgevat als lijnen). Het hoogtepunt is het middelpunt van een van de ingeschreven of aangeschreven cirkels van de voetpuntsdriehoek, als de driehoek scherphoekig is dan is het de ingeschreven cirkel. De negenpuntscirkel is de omgeschreven cirkel van de voetpuntsdriehoek.
Stel je de gegeven driehoek voor als een biljarttafel, dan is de voetpuntsdriehoek de enige driehoekige baan die een bal in het biljart kan afleggen. De voetpuntsdriehoek is de ingeschreven driehoek met de kleinste omtrek.
Barycentrische coördinaten van de hoekputen van de voetpuntsdriehoek zijn, gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie:
- ( 0 : SC : SB ),
- ( SC : 0 : SA ),
- ( SB : SA : 0 ).
Voetpuntsdriehoek van een punt
De voetpuntsdriehoek van een punt P in een driehoek bestaat uit de loodrechte projecties van P op de drie zijden (opgevat als lijnen) als hoekpunten. De voetpuntsdriehoek onder 1. is de voetpuntsdriehoek van het hoogtepunt.
Wanneer p als barycentrische coördinaten (x:y:z) heeft, dan hebben, gebruikmakend van Conway driehoeknotatie, de hoekpunten van zijn voetpuntsdriehoek als coördinaten:
- ( 0 : a2y + SCx : a2z + SBx ),
- ( b2x + SCy : 0 : b2z + SAy ),
- ( c2x + SBz : c2y + SAz : 0 ).
De omgeschreven cirkel van de voetpuntsdriehoek van P heet voetpuntscirkel van P. Isogonaal verwante punten hebben dezelfde voetpuntscirkel.
Een ingeschreven driehoek A'B'C' in een driehoek ABC (met A' op BC, B' op AC en C' op AB) is een voetpuntsdriehoek van een punt P dan en slechts dan als
Oppervlakte van een voetpuntsdriehoek
De oppervlakte Δ van de voetpuntsdriehoek A'B'C' van een punt P is gegeven door de formule
Hierin zijn R de straal en O het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De oppervlakte van A'B'C' is dus evenredig met de macht van P ten opzichte van de omgeschreven cirkel.
Vorm van een voetpuntsdriehoek
De lengtes van de zijden van voetpuntsdriehoek A'B'C' van een punt P verhouden zich als:
In het bijzonder volgt hieruit dat de voetpuntsdriehoeken van P t.o.v. ABC, A t.o.v. PBC, B t.o.v. APC en C t.o.v. ABP gelijkvormig zijn.
Laat A2B2C2 de voetpuntsdriehoek van P zijn ten opzichte van A'B'C', dan is A2B2C2 de tweede voetpuntsdriehoek. Laat nu A3B3C3 de voetpuntsdriehoek zijn van P ten opzichte van A2B2C2, de derde voetpuntsdriehoek. Er geldt dat de derde voetpuntsdriehoek gelijkvormig is met ABC.
De voetpuntsdriehoek van P is gelijkvormig met de Om-Ceva-driehoek van P.