Tweevlakshoek

Een tweevlakshoek is een figuur in de stereometrie (ruimtemeetkunde).

figuur 1. Vlak V wordt door de lijn l verdeeld in twee halfvlakken.

figuur 2. Tweevlakshoek bepaald door V en W met ribbe s.

Een vlak wordt door een rechte lijn die (geheel) in dat vlak ligt, verdeeld in twee halfvlakken (halve vlakken). De lijn is de begrenzende lijn van zo’n halfvlak; zie figuur 1.

De tweevlakshoek (hier verder afgekort tot tvh) bestaat uit twee halfvlakken die een gemeenschappelijke begrenzende lijn hebben. In dit verband heet de begrenzende lijn ook wel ribbe van de tvh en de beide halfvlakken zijden; zie figuur 2.

Grootte

De grootte van een tvh wordt bepaald door de hoek tussen twee elkaar op de ribbe snijdende halfrechten die elk in een halfvlak van de tvh liggen én loodrecht staan op die ribbe. De hoek tussen die halfrechten wordt standhoek (van de beide halfvlakken) genoemd. Zijn V en W halfvlakken die de lijn s als ribbe hebben, en staan de halfrechten p (in V) en q (in W) in een punt A van s elk loodrecht op s, dan geldt per definitie voor de grootte van standhoek van de vlakken, aangegeven met ∠(V, W), zie ook figuur 2:

∠( V, W) = ∠(p, q)

Het vlak bepaald door de (snijdende) lijnen p en q is het standvlak van de tvh. Dat vlak staat loodrecht op de lijn s.

Opmerking. Uit de definitie volgt dat als een vlak door een lijn wordt verdeeld in twee halfvlakken (zoals in figuur 1), de hoek tussen die halfvlakken gelijk is aan 180°.

Twee stellingen

De hoek tussen twee vlakken is per definitie gelijk aan de scherpe of rechte hoek gevormd door de snijlijnen van een standvlak met die gegeven vlakken. Dan geldt bijvoorbeeld:

Stelling 1. Twee vlakken staan loodrecht op elkaar, als een lijn in het ene vlak loodrecht op het andere vlak staat.
Stelling 2. Een standhoek van een tvh is het supplement van de hoek gevormd door twee halfrechten die een punt binnen de tvh als beginpunt hebben en die de vlakken loodrecht snijden.

figuur 3. Stelling 2

Bewijzen

Stelling 1 - Om aan te tonen dat deze eigenschap juist is, moet dus worden bewezen dat de standhoek van die vlakken recht is.

Stelling 2 - Gegeven. Tvh bepaald door V, W en s. Punt P ligt binnen de tvh en PQ, PR zijn loodlijnen uit P op V, W.
Te bewijzen. ∠(V, W) + ∠(PQ, PR) = 180°; zie figuur 3.
Bewijs. Het vlak U door PQ, PR snijdt de ribbe s van de tvh in het punt A. Dan is hoek QAR een standhoek van de tvh, omdat s ⊥ U. Omdat ∠PQA = 90° en ∠PRA = 90° zijn, is in vierhoek PQAR ∠A + ∠P = 180°. Wat te bewijzen was.

Gevolg van Stelling 2. Voor de berekening van de hoek tussen twee vlakken kan gebruikgemaakt worden van de normaalvectoren van die vlakken (zie Hoek, Berekenen). Stelling 2 geeft hiervoor de euclidische basis.

Voorbeelden

In een piramide vormen een zijvlak en het grondvlak een tvh.
In een kubus vormen twee zijvlakken die een ribbe gemeenschappelijk hebben, een tvh. En dat geldt ook voor een diagonaalvlak en een zijvlak met een gemeenschappelijke ribbe.
In de figuur van drie vlakken met evenwijdige snijlijnen vormt elk tweetal vlakken een tweevlakshoek.

Zie ook

Literatuur

A van Dop, A. van Haselen: Stereometrie voor V.H. en M.O. Groningen: J.B. Wolters; 6e druk (1959).
P. Molenbroek: Leerboek der Stereometrie. Groningen: P. Noordhoff n.v.; 8e druk, herzien door P. Wijdenes (1934).
H.G. Telkamp (2006): Structuren van de veelvlakken. In: Nieuwe Wiskrant; jg. 25, nr. 4, pp. 11-17 (PDF-bestand, met bijlage).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.