Totale orde

Een totale orde of lineaire orde op de verzameling ${\displaystyle X}$ is een homogene tweeplaatsige relatie ${\displaystyle \leq }$, die antisymmetrisch, transitief en totaal is. Er geldt dus:

• (antisymmetrie) voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt: als ${\displaystyle x\leq y}$ en ${\displaystyle y\leq x}$, dan ${\displaystyle x=y}$,
• (transitiviteit) voor alle ${\displaystyle x,y,z\in X}$ geldt: als ${\displaystyle x\leq y}$ en ${\displaystyle y\leq z}$, dan ${\displaystyle x\leq z}$, en
• (totaliteit) voor alle ${\displaystyle x,y\in X}$ geldt: ${\displaystyle x\leq y}$ of ${\displaystyle y\leq x}$ (of beide).

Bij elke totale orde ${\displaystyle \leq }$ is er een bijbehorende relatie ${\displaystyle <}$ die een strikte totale orde genoemd wordt en die gedefinieerd is door:

• ${\displaystyle x<y}$ dan en slechts dan als ${\displaystyle x\leq y}$ en ${\displaystyle x\neq y}$

of alternatief door:

• ${\displaystyle x<y}$ dan en slechts dan als niet ${\displaystyle y\leq x}$

Omgekeerd is er bij elke strikte totale orde ${\displaystyle <}$ een bijbehorende totale orde ${\displaystyle \leq }$, gedefinieerd door:

• ${\displaystyle x\leq y}$ dan en slechts dan als ${\displaystyle x<y}$ of ${\displaystyle x=y}$

of alternatief door:

• ${\displaystyle x\leq y}$ dan en slechts dan als niet ${\displaystyle y<x}$

• De letters van het alfabet onder de alfabetische volgorde zijn totaal geordend.
• Een deelverzameling van een totaal geordende verzameling ${\displaystyle X}$ is zelf ook totaal geordend onder de restrictie van de orde op ${\displaystyle X}$.
• Elke verzameling kardinaalgetallen of ordinaalgetallen is totaal geordend (deze zijn zelfs welgeordend).
• Als ${\displaystyle X}$ een verzameling is en ${\displaystyle f}$ een injectieve functie die ${\displaystyle X}$ afbeeldt op in een totaal geordende verzameling, induceert ${\displaystyle f}$ een totale orde op ${\displaystyle X}$ door de relatie ${\displaystyle x<y}$ als ${\displaystyle f(x)<f(y)}$.
• De reële getallen onder de gebruikelijke ordening ${\displaystyle \leq }$ of ${\displaystyle \geq }$ zijn totaal geordend. Dus zijn ook de deelverzamelingen de natuurlijke getallen, de gehele getallen en de rationale getallen totaal geordend. Tevens geldt:
  • de natuurlijke getallen vormen de kleinste totaal geordende verzameling zonder bovengrens;
  • de gehele getallen vormen de kleinste totaal geordende verzameling met geen boven- of ondergrens;
  • de rationale getallen vormen de kleinste totaal geordende verzameling die dicht ligt in de reële gtallen.

De functie min geeft de kleinste waarde, het minimum, van haar argumenten aan; de functie max, het maximum, de grootste.

${\displaystyle \min(a,b)=a,{\text{ als }}a\leq b,{\text{ en anders }}b}$

${\displaystyle \max(a,b)=a,{\text{ als }}a\geq b,{\text{ en anders }}b}$

De functies kunnen ook meer argumenten hebben. Ook kunnen de argmumenten geïndiceerd zijn of afhangen van een parameter en is de index of de parameter beperkt tot bepaald bereik.

Het betekent steeds het kleinste en grootste element. Als de verzameling waarden oneindig groot is bestaan deze niet altijd.

De functies hebben de eigenschap dat toepassen van een monotoon niet-dalende functie op de argumenten hetzelfde oplevert als het toepassen van die functie op het resultaat. Bij een monotoon niet-stijgende functie verandert min in max en omgekeerd.

Zie ook inf en sup.

${\displaystyle \min(3,7)=3;\min(-2,-5)=-5;\min(2,4,-3,1,7)=-3}$

${\displaystyle \max(3,7)=7;\max(-2,-5)=-2;\max(2,4,-3,1,7)=7}$

${\displaystyle \min _{k=1}^{5}((k-2)^{2})=0;\max _{k=1}^{5}((k-2)^{2})=9.}$

• Partiële orde