Product van ringen

Het belangrijkste voorbeeld is de ring Z/nZ van gehele getallen modulo n. Als n wordt geschreven als een product van priem machten (zie hoofdstelling van de rekenkunde):

${\displaystyle n={p_{1}}^{n_{1}}\ {p_{2}}^{n_{2}}\ \cdots \ {p_{k}}^{n_{k}}}$

waar de p_i onderscheiden priemgetallen zijn, dan is Z/nZ natuurlijk isomorf met de productring

${\displaystyle \mathbf {Z} /{p_{1}}^{n_{1}}\mathbf {Z} \ \times \ \mathbf {Z} /{p_{2}}^{n_{2}}\mathbf {Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf {Z} /{p_{k}}^{n_{k}}\mathbf {Z} }$

Dit volgt uit de Chinese reststelling.

Als R = Π_{i in I} R_i een product van ringen is, dan heeft men voor elke i in I een surjectief ringhomomorfisme p_i: R → R_i, dat het product op de i-de coördinaat projecteert. Het product R heeft, samen met de projecties p_i, de volgende universele eigenschap:

als S een willekeurige ring is en f_i: S → R_i een ringhomomorfisme is voor iedere i in I, dan bestaat er precies een ringhomomorfisme f: S → R, zodanig dat p_i o f = f_i voor alle i in I.

Dit toont aan dat het product van ringen een instantiëring van producten in de zin van de categorietheorie is.

Als A_i in R_i een ideaal is voor alle i in I, dan is A = Π_{i in I} A_i een ideaal van R. Als I eindig is, dan is het omgekeerde waar is, dat wil zeggen dat iedere ideaal van R van deze vorm is. Maar als I oneindig is en de ringen R_i niet nul zijn, dan is het omgekeerde onwaar; de verzameling van alle elementen met alle, maar een eindig aantal, niet nulzijnde coördinaten vormt een ideaal, dat geen direct product van idealen van de R_i is. De ideaal A is een priemideaal in R als alle, behalve een van de A_i, gelijk zijn aan R_i en de resterende A_i een priemideaal in R_i zijn. Het omgekeerde is echter niet waar, wanneer I oneindig is. De directe som van de R_i vormen bijvoorbeeld een ideaal, dat niet vervat is in enige dergelijke A, maar het keuzeaxioma geeft dat het is vervat in enige maximaalideaal, die a fortiori priem is.

Een element x in R is dan en slechts dan een eenheid als al haar componenten ook eenheden zijn, dat wil zeggen dan en slechts dan als p_i(x) een eenheid in R _i is voor elke i in I. De groep van eenheden van R is het product van de groepen van eenheden van R_i. Een product van meer dan een niet-nulzijnde ringen heeft altijd nuldelers: als x een element van het product is, waarvan alle coördinaten, behalve p_i(x), nul zijn en y is een element van het product, waar alle coördinaten nul zijn, behalve p_j(y) (met i ≠ j), dan geldt xy = 0 in de productring.

• Direct product