Conjugatie (groepentheorie)

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de relatie geconjugeerde een equivalentierelatie op een groep, die de groep ontbindt in conjugatieklassen. De elementen van een conjugatieklasse hebben zo veel overeenkomsten, dat een nadere bestudering van deze conjugatieklassen belangrijke inzichten in de structuur van de niet-abelse groepen oplevert. Bij abelse groepen zijn conjugatieklassen van ondergeschikt belang, omdat elk element een eigen conjugatieklasse vormt.

Definitie

In de groep G heet het element b geconjugeerd met het element a als er een element g is zodanig dat

b = gag⁻¹.

Equivalentierelatie

De relatie geconjugeerd is een equivalentierelatie, immers:

(Reflexiviteit) Elke a is geconjugeerd met zichzelf
(Symmetrie) Als b geconjugeerd is met a (b = gag⁻¹), is ook a geconjugeerd met b (a = g⁻¹bg).
(Transitiviteit) Als a geconjugeerd met b (a = gbg⁻¹) en b is geconjugeerd is met c (b = hch⁻¹), is ook a geconjugeerd met c (a = ghch⁻¹g⁻¹=(gh)c(gh)⁻¹).

Voorbeeld

De symmetrische groep S₄, die bestaat uit 24 permutaties van 4 elementen, heeft 5 conjugatieklassen. We schrijven de conjugatieklassen in cykelnotatie:

de identieke (1 element) : $()\,$
twee verwisselen, transpositie (6 elementen): $(12),\;(13),\;(14),\;(23),\;(24),\;(34)$
drie verwisselen (8 elementen): $(123),\;(132),\;(124),\;(142),\;(134),\;(143),\;(234),\;(243)$
vier verwisselen (6 elementen): $(1234),\;(1243),\;(1324),\;(1342),\;(1423),\;(1432)$
twee keer twee verwisselen (3 elementen): $(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23)$

Aantal conjugatieklassen in de symmetrische groep, en aantal elementen per conjugatieklasse

Het aantal conjugatieklassen in de symmetrische groep S_n is gelijk aan de partitiefunctie van n.

Als van een conjugatieklasse elementen die op zichzelf worden afgebeeld worden geteld als cykel van lengte 1, en het aantal verschillende lengtes van de cykels dan $m$ is, en $x_{k}$ het aantal cykels is met lengte $y_{k}$ , dan is het aantal elementen van die conjugatieklasse ${\frac {n!}{z}}$ met $z=\prod _{k=1}^{m}x_{k}!*y_{k}^{x_{k}}$ .

Dit is als volgt te beredeneren. Per conjugatieklasse kunnen we iedere rij van $n$ verschillende elementen (waarvan er $n!$ zijn) opdelen overeenkomstig die conjugatieklasse, bijvoorbeeld bij de klasse "twee verwisselen" van S₄ door de eerste twee elementen van de rij te bestemmen voor de verwisseling. De $x_{k}!$ compenseert voor dubbeltelling van verwisselde even lange cykels, en de $y_{k}^{x_{k}}$ voor dubbeltelling van cyclische verwisseling van de elementen in een cykel.

Bijvoorbeeld heeft bij de symmetrische groep S₄ de conjugatiegroep waarbij er twee elementen verwisseld worden (en twee dus niet) ${\frac {4!}{2!*1^{2}*1!*2^{1}}}=6$ elementen.

Zie ook

Gelijkvormige matrices.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.