Neutraal element

Een neutraal element in een magma ${\displaystyle (V,*)}$, is een element ${\displaystyle e\in V}$ met de eigenschap dat voor elke ${\displaystyle a\in V}$ geldt:

${\displaystyle a*e=a=e*a}$.

Daaraan ziet men waarom van neutraal element wordt gesproken, want bij bewerking met een neutraal element verandert er niets, het element ${\displaystyle e}$ gedraagt zich neutraal.

Men zou zich kunnen afvragen of het niet voldoende zou zijn slechts een van de gelijkheden te eisen. Door echter beide gelijkheden te eisen, is gegarandeerd dat ook als de bewerking ${\displaystyle *}$ niet commutatief is, er slechts één neutraal element is. Stel namelijk dat ${\displaystyle e_{1}}$ en ${\displaystyle e_{2}}$ beide neutraal element zijn. Dan volgt direct:

${\displaystyle e_{2}*e_{1}=e_{2}\,}$

en

${\displaystyle e_{1}=e_{2}*e_{1}\,}$,

dus

${\displaystyle e_{2}=e_{2}*e_{1}=e_{1}\,}$.

Indien men een additieve notatie gebruikt, noteert men het neutraal element met 0.
Indien men een multiplicatieve notatie gebruikt, noteert men het neutraal element met 1.

• In de verzameling van de rationale getallen met de bewerking optellen is 0 het neutrale element.

${\displaystyle 4{,}27+0=4{,}27}$

• In de verzameling van de gehele getallen met de bewerking vermenigvuldigen is 1 het neutrale element.

${\displaystyle 6\cdot 1=6}$

• In de verzameling van de m × n-matrices met de bewerking matrixoptelling is de m × n-nulmatrix (geheel gevuld met nullen) het neutrale element.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix}}}$

• In de verzameling van de (vierkante) n × n-matrices en de bewerking matrixvermenigvuldiging is de eenheidsmatrix het neutrale element.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&2\\3&-4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&2\\3&-4\end{bmatrix}}}$

• In de verzameling van de even getallen met bewerking vermenigvuldigen bestaat géén neutraal element.

• Nulvector
• Inverse element
• Idempotent element
• Absorberend element