Matrixdecompositie

In numerieke analyse worden verschillende decomposities voor de uitvoering van efficiënte matrixalgoritmes gebruikt.

Bij het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen ${\displaystyle Ax=b}$ kan de matrix ${\displaystyle A}$ bijvoorbeeld worden ontleed door gebruik te maken van LU-decompositie. De LU-decompositie factoriseert een matrix in een benedendriehoeksmatrix ${\displaystyle L}$ en een bovendriehoeksmatrix ${\displaystyle U.}$ De systemen ${\displaystyle L(Ux)=b}$ en ${\displaystyle Ux=L^{-1}b}$ vereisen minder optellingen en vermenigvuldigingen voor het oplossen, hoewel men bij onnauwkeurig rekenen, zoals met floating point getallen, significant meer cijfers nodig heeft.

Op soortgelijke wijze drukt de QR-decompositie ${\displaystyle A}$ uit als ${\displaystyle A=QR}$ met ${\displaystyle Q}$ een unitaire matrix en ${\displaystyle R}$ een bovendriehoeksmatrix. Het systeem ${\displaystyle Q(Rx)=b}$ wordt opgelost door ${\displaystyle Rx=Q^{\text{T}}b=c,}$ en het systeem ${\displaystyle Rx=c}$ wordt opgelost door "terugsubstitutie". Het aantal benodigde optellingen en vermenigvuldigingen is ongeveer dubbel zoveel als bij gebruik van de LU-decompositie, maar bij onnauwkeurig rekenen vereist de QR-decompositie niet meer cijfers, omdat de QR-decompositie numeriek stabiel is.