Crout-decompositie

Zij ${\displaystyle A}$ een ${\displaystyle n\times n}$-matrix met elementen ${\displaystyle a_{i,j}.}$ De Crout-decompositie is formeel gezien een Gauss-eliminatie. Het algoritme begint dan met als ${\displaystyle L}$ de ${\displaystyle n\times n}$-eenheidsmatrix en ${\displaystyle U}$ gelijk aan ${\displaystyle A.}$ In ${\displaystyle n-1}$ stappen wordt ${\displaystyle U}$ herleid tot een bovendriehoeksmatrix en ${\displaystyle L}$ tot een benedendriehoeksmatrix, zodanig dat het matrixproduct ${\displaystyle LU}$ steeds gelijk blijft aan ${\displaystyle A.}$

In de ${\displaystyle k}$-de stap worden het elementen op de hoofddiagonaal in de ${\displaystyle k}$-de kolom van ${\displaystyle U}$ op een gebracht en de elementen eronder op nul. Dit gebeurt door rij ${\displaystyle k}$ te delen door het pivot-element ${\displaystyle u_{k,k}.}$ Deze waarde kopiëren we in de corresponderende positie in matrix ${\displaystyle L.}$ Daarna vermenigvuldigen we de ${\displaystyle k}$-de rij met ${\displaystyle u_{j,k}}$ en trekken ze dan af van rij ${\displaystyle j,}$ wat een nieuwe rij ${\displaystyle j}$ geeft met nul in de ${\displaystyle k}$-de kolom (${\displaystyle j>k}$). De factoren ${\displaystyle u_{j,k}}$ kopiëren we eveneens in de corresponderende kolom van ${\displaystyle L.}$

Indien ${\displaystyle U}$ een element ${\displaystyle u_{k,k}}$ op de hoofddiagonaal heeft dat nul is, gaat dit natuurlijk niet op. In dat geval moet de rij ${\displaystyle k}$ verwisseld worden met een onderliggende rij ${\displaystyle j}$ waarin ${\displaystyle u_{j,k}}$ niet nul is. De verwisseling gebeurt ook in ${\displaystyle L.}$ De verwisselingen kunnen bijgehouden worden in een permutatiematrix ${\displaystyle P.}$ In het begin is ${\displaystyle P}$ de eenheidsmatrix. Wanneer twee rijen in ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle L}$ verwisseld worden, worden dezelfde rijen in ${\displaystyle P}$ verwisseld. De decompositie is dan niet langer ${\displaystyle A=LU}$ maar ${\displaystyle A=PLU.}$

Indien men rekening houdt met de specifieke structuur van ${\displaystyle L}$ en ${\displaystyle U,}$ kan men de coëfficiënten ervan een voor een berekenen. Immers als men het matrixproduct ${\displaystyle A=LU}$ uitschrijft, verkrijgt men een stelsel van ${\displaystyle n\times n}$ lineaire vergelijkingen in de ${\displaystyle n\times n}$ onbekende coëfficiënten van ${\displaystyle L}$ en ${\displaystyle U.}$ Deze vergelijkingen kan men zo rangschikken dat elke volgende vergelijking een nieuwe coëfficiënt geeft; bijvoorbeeld:

${\displaystyle a_{1,1}=l_{1,1},a_{2,1}=l_{2,1}}$ enz. (dit is de eerste kolom van ${\displaystyle L}$)

${\displaystyle a_{1,2}=l_{1,1}u_{1,2}}$ of ${\displaystyle u_{1,2}={\frac {a_{1,2}}{a_{1,1}}}}$

${\displaystyle a_{1,3}=l_{1,1}u_{1,3}}$ of ${\displaystyle u_{1,3}={\frac {a_{1,3}}{a_{1,1}}}}$ enz. (dit vervolledigt de eerste rij van ${\displaystyle U}$)

${\displaystyle a_{2,2}=l_{2,1}u_{1,2}+l_{2,2}}$ of ${\displaystyle l_{2,2}=a_{2,2}-l_{2,1}u_{1,2}}$

${\displaystyle a_{3,2}=l_{3,1}u_{1,2}+l_{3,2}}$ of ${\displaystyle l_{3,2}=a_{3,2}-l_{3,1}u_{1,2}}$ enz. (dit vervolledigt de tweede kolom van ${\displaystyle L}$)

Op deze manier kan men afwisselend een kolom van ${\displaystyle L}$ en een rij van ${\displaystyle U}$ rechtstreeks berekenen. Dit is de "compacte" vorm van de Crout-decompositie.

Deel de eerste rij van ${\displaystyle U}$ door 3, en vermenigvuldig de eerste rij achtereenvolgens met −3, 6, 9 en trek ze af van de tweede, derde en vierde rij zodat de elementen onder de diagonaal in de eerste kolom van ${\displaystyle U}$ nul worden. De getallen 3, −3, 6 en 9 kopiëren we naar de eerste kolom van ${\displaystyle L,}$ die dus een kopie wordt van de eerste kolom van ${\displaystyle U.}$ Dit geeft als tussenstand:

${\displaystyle LU={\begin{pmatrix}3&0&0&0\\-3&1&0&0\\6&0&1&0\\-9&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-7/3&-2/3&2/3\\0&-2&-1&2\\0&10&4&-9\\0&-16&-11&18\\\end{pmatrix}}}$

(Men kan nagaan dat het product van deze twee matrices de oorspronkelijk matrix ${\displaystyle A}$ is)

Om het element op de hoofddiagonaal in de tweede kolom van ${\displaystyle U}$ op een te krijgen, moet de tweede rij van ${\displaystyle U}$ gedeeld worden door −2. Om de rest van de tweede kolom van ${\displaystyle U}$ op nul te krijgen, moet de tweede rij van ${\displaystyle U}$ achtereenvolgens vermenigvuldig worden met 10 en −16, en afgetrokken van de derde, respectievelijk de vierde rij. De waarden −2, 10 en −16 gaan naar de tweede kolom van ${\displaystyle L:}$, die is dus een kopie van de tweede kolom van ${\displaystyle U}$ vanaf de tweede rij. Dit geeft:

${\displaystyle LU={\begin{pmatrix}3&0&0&0\\-3&-2&0&0\\6&10&1&0\\-9&-16&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-7/3&-2/3&2/3\\0&1&1/2&-1\\0&0&-1&1\\0&0&-3&2\\\end{pmatrix}}}$

In de derde stap wordt de derde rij van ${\displaystyle U}$ gedeeld door −1, waarna de derde rij vermenigvuldig wordt met −3 en afgetrokken van de vierde rij. De factoren −1 en −3 gaan naar de derde kolom van ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle LU={\begin{pmatrix}3&0&0&0\\-3&-2&0&0\\6&10&-1&0\\-9&-16&-3&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-7/3&-2/3&2/3\\0&1&1/2&-1\\0&0&1&-1\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$

In de vierde en laatste stap moet alleen nog het element in de linker benedenhoek van ${\displaystyle U}$ op een gebracht worden, door het te delen door −1, en die waarde te kopiëren naar ${\displaystyle L.}$ Dit geeft als eindresultaat:

${\displaystyle LU={\begin{pmatrix}3&0&0&0\\-3&-2&0&0\\6&10&-1&0\\-9&-16&-3&-1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-7/3&-2/3&2/3\\0&1&1/2&-1\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Daarmee is de decompositie van ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle LU}$ beëindigd. In dit geval was er geen verwisseling van rijen nodig.