Doolittle-decompositie

De Doolittle-decompositie is een algoritme voor de LU-decompositie van een vierkante niet-singuliere matrix in een benedendriehoeksmatrix L en een bovendriehoeksmatrix U. In de matrix L zijn de elementen op de hoofddiagonaal gelijk aan 1.

De methode werd in 1878 voorgesteld door Myrick H. Doolittle, een wiskundige verbonden aan de U.S. Coast and Geodetic Survey.[1]

Beschrijving

Via Gauss-eliminatie

Zij A een n×n matrix met elementen a_i,j. De Doolittle-decompositie is formeel gezien een Gauss-eliminatie. Het algoritme begint dan met als L de n×n-eenheidsmatrix en U gelijk aan A. In n-1 stappen wordt U herleid tot een bovendriehoeksmatrix en L tot een benedendriehoeksmatrix, zodanig dat het matrixproduct LU steeds gelijk blijft aan A.

In de k-de stap worden de elementen onder de hoofddiagonaal in de k-de kolom van U op nul gebracht. Dit gebeurt door rij k met de juiste factor te vermenigvuldigen en dan af te trekken van rij j, wat een nieuwe rij j geeft (j > k). De factoren zijn de verhoudingen van de elementen in rij j en k in kolom k. Die factoren, u_j,k/u_k,k, kopiëren we in de corresponderende kolom van L.

Indien U een element u_k,k op de hoofddiagonaal heeft dat nul is, gaat dit natuurlijk niet op. In dat geval moet de rij k verwisseld worden met een onderliggende rij j waarin u_j,k niet nul is. De verwisseling gebeurt ook in L. De verwisselingen kunnen bijgehouden worden in een permutatiematrix P. In het begin is P de eenheidsmatrix. Wanneer twee rijen in U en L verwisseld worden, worden dezelfde rijen in P verwisseld. De decompositie is dan niet langer A = LU maar P⁻¹A = LU.

Rechtstreekse berekening

Indien men rekening houdt met de specifieke structuur van L en U, kan men de coëfficiënten ervan een voor een berekenen. Immers als men het matrixproduct A = LU uitschrijft, verkrijgt men een stelsel van n×n lineaire vergelijkingen in de n×n onbekende coëfficiënten van L en U. Maar deze vergelijkingen kan men zo rangschikken dat elke volgende vergelijking een nieuwe coëfficiënt geeft; bijvoorbeeld:

a_{1,1}=u_{1,1}

a_{2,1}=l_{2,1}u_{1,1}

of

l_{2,1}={\frac {a_{2,1}}{a_{1,1}}}

a_{3,1}=l_{3,1}u_{1,1}

of

l_{3,1}={\frac {a_{3,1}}{a_{1,1}}}

enz.;

a_{1,2}=u_{1,2}

a_{2,2}=u_{2,2}+l_{2,1}u_{1,2}

of

u_{2,2}=a_{2,2}-l_{2,1}a_{1,2}

a_{3,2}=l_{3,1}u_{1,2}+l_{3,2}u_{2,2}

of

l_{3,2}=(a_{3,2}-l_{3,1}a_{1,2})/u_{2,2}

enz.;

a_{1,3}=u_{1,3}

a_{2,3}=l_{2,1}u_{1,3}+u_{2,3}

of

u_{2,3}=a_{2,3}-l_{2,1}a_{1,3}

a_{3,3}=l_{3,1}u_{1,3}+l_{3,2}u_{2,3}+u_{3,3}

of

u_{3,3}=a_{3,3}-l_{3,1}a_{1,3}-l_{3,2}u_{2,3}

enz.

Op deze manier kan men de coëfficiënten van L en U een voor een, rechtstreeks berekenen. Dit is de "compacte" vorm van de Doolittle-decompositie.

Rekenvoorbeeld

Gegeven: $A={\begin{pmatrix}3&-7&-2&2\\-3&5&1&0\\6&-4&0&-5\\-9&5&-5&12\\\end{pmatrix}}$

We beginnen met als matrix L de eenheidsmatrix en U gelijk aan A:

LU={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-7&-2&2\\-3&5&1&0\\6&-4&0&-5\\-9&5&-5&12\\\end{pmatrix}}

Eerste stap

In de eerste stap zijn de factoren om de elementen onder de diagonaal in de eerste kolom van U op nul te krijgen, respectievelijk −1, 2 en −3. Die komen onder de diagonaal in de eerste kolom van L. In U vermenigvuldigen we de eerste rij met −1 en trekken die af van de tweede rij; dat wordt de nieuwe tweede rij; analoog voor de derde en vierde rij. Dit geeft als tussenstand:

LU={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\2&0&1&0\\-3&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-7&-2&2\\0&-2&-1&2\\0&10&4&-9\\0&-16&-11&18\\\end{pmatrix}}

(Men kan nagaan dat het product van deze twee matrices de oorspronkelijk matrix A is)

Tweede stap

Om de elementen onder de diagonaal in de tweede kolom van U op nul te krijgen moeten we van de derde rij van U de tweede rij van U vermenigvuldigd met −5 aftrekken, en van de vierde rij van U de tweede rij vermenigvuldigd met 8. Dit geeft:

LU={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\2&-5&1&0\\-3&8&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-7&-2&2\\0&-2&-1&2\\0&0&-1&1\\0&0&-3&2\\\end{pmatrix}}

Derde stap

In de laatste stap staat het enige overgebleven element onder de hoofddiagonaal van U in de derde kolom. Door de derde rij van U te vermenigvuldigen met 3 en af te trekken van de vierde rij wordt dit nul:

LU={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\2&-5&1&0\\-3&8&3&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-7&-2&2\\0&-2&-1&2\\0&0&-1&1\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}

Daarmee is de decompositie van A in LU beëindigd. In dit geval was er geen verwisseling van rijen nodig.

Bemerkingen

Om een stelsel van lineaire vergelijkingen $Ax=B$ op te lossen gaat men als volgt te werk:

Vorm de matrices $L$ en $U$ : $LUx=B$ . We noemen $y$ het (voorlopig onbekende) product $Ux$ .
Los $Ly=B$ op door voorwaartse substitutie.
Los $Ux=y$ op door achterwaartse substitutie.

Wanneer bijvoorbeeld $B={\begin{pmatrix}-36&20&2&-34\end{pmatrix}}^{T}$ , vinden we achtereenvolgens:

$y_{1}=-36$
$-y_{1}+y_{2}=20$ waaruit $y_{2}=-16$
$2y_{1}-5y_{2}+y_{3}=2$ waaruit $y_{3}=-6$
$-3y_{1}+8y_{2}+3y_{3}+y_{4}=-34$ waaruit $y_{4}=4$

en:

$-x_{4}=y_{4}=4$ of $x_{4}=-4$
$-x_{3}+x_{4}=y_{3}=-6$ waaruit $x_{3}=2$
$-2x_{2}-x_{3}+2x_{4}=y_{2}=-16$ waaruit $x_{2}=3$
$3x_{1}-7x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=y_{1}=-36$ waaruit $x_{1}=-1$

Indien deze methode in een computerprogramma wordt geïmplementeerd, is het niet nodig om twee afzonderlijke matrices voor L en U te gebruiken. Ze kunnen compact in een enkele matrix bewaard worden (daarvoor kan zelfs de matrix A dienen als deze mag overschreden worden). Het is immers niet nodig om de elementen op de hoofddiagonaal van L te bewaren, die per definitie gelijk zijn aan 1. De rij-permutaties kunnen bijgehouden worden in een permutatievector van n elementen; als twee rijen verwisseld worden worden de corresponderende elementen in de permutatievector verwisseld. De Doolittle-decompositie gelijkt sterk op de Crout-decompositie. Dit is ook een LU-decompositie met dit verschil dat in een Crout-decompositie de elementen op de hoofddiagonaal van de bovendriehoeksmatrix U gelijk zijn aan 1.

Externe links

Cholesky, Doolittle and Crout Factorization

Bronnen, noten en/of referenties

Myrick H. Doolittle. "Method employed in the solution of normal equations and the adjustment of a triangulation", U.S. Coast and Geodetic Survey Report 1878, Appendix 8, Paper No. 3, blz.. 115–120.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Myrick H. Doolittle. "Method employed in the solution of normal equations and the adjustment of a triangulation", U.S. Coast and Geodetic Survey Report 1878, Appendix 8, Paper No. 3, blz.. 115–120.