QR-decompositie

In de lineaire algebra is een QR-decompositie van een vierkante matrix ${\displaystyle A}$ een opsplitsing van die matrix in een product

${\displaystyle A=QR}$

van een orthogonale matrix ${\displaystyle Q}$ en een bovendriehoeksmatrix ${\displaystyle R}$. QR-decompositie kan gegeneraliseerd worden voor niet-vierkante matrices, waarbij de bovendriehoeksmatrix geen vierkante matrix is, maar dezelfde afmetingen heeft als ${\displaystyle A}$.

QR-decompositie wordt bij de kleinste-kwadratenmethode veel gebruikt voor het oplossen van het stelsel lineaire vergelijkingen. Het is de basis voor het QR-algoritme, een speciaal algoritme voor het eigenwaarde-probleem.

Als de matrix ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ lineair onafhankelijke kolommen heeft, vormen de eerste ${\displaystyle n}$ kolommen van ${\displaystyle Q}$ een orthonormale basis voor de kolommenruimte van ${\displaystyle A}$. In het bijzonder vormen voor ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ de eerste ${\displaystyle k}$ kolommen van ${\displaystyle Q}$ een orthonormale basis voor de ruimte die wordt opgespannen door de eerste ${\displaystyle k}$ kolommen van ${\displaystyle A}$.[1] Als gevolg hiervan is de matrix ${\displaystyle R}$ een driehoeksmatrix.[1]

De QR-decompositie kan op verschillende manieren berekend worden:

• met de Gram-Schmidtmethode; die is echter niet numeriek stabiel;
• met Householder-transformaties;
• met Givens-rotaties.