Mandelbrotverzameling

De mandelbrotverzameling is een verzameling van complexe getallen en ontstaat door herhaaldelijk op de complexe getallen een bepaalde wiskundige bewerking uit te voeren. Deze verzameling wordt dus aan de hand van een differentievergelijking bepaald. Voor ieder complex getal ${\displaystyle c}$ wordt dezelfde bewerking herhaald, waarbij er een rij complexe getallen ${\displaystyle (c_{n})}$ wordt gecreëerd, volgens: ${\displaystyle c_{n+1}={c_{n}}^{2}+c}$.

Voorbeeld

Neem het complexe getal ${\displaystyle c=2+{\frac {1}{2}}i}$, en kwadrateer dat getal. Gebruikmaking van het merkwaardige product: ${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$ levert het volgende op: ${\displaystyle (2+{\frac {1}{2}}i)^{2}=2^{2}+2\cdot 2\cdot {\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}^{2}\cdot i^{2}}$ ${\displaystyle =4+2i+{\frac {1}{4}}\cdot (-1)={\frac {15}{4}}+2i}$ Vervolgens wordt hier ${\displaystyle c}$ nog een keer bij opgeteld: ${\displaystyle \left({\frac {15}{4}}+2i\right)+(2+{\frac {1}{2}}i)=5{,}75+2{,}5i}$ Het gaat hier om de eerste stap in het iteratieproces.

Wanneer deze bewerking voor alle complexe getallen voortdurend wordt herhaald, blijken er twee soorten complexe getallen te bestaan. Er zijn complexe getallen die bij de genoemde bewerkingen een begrensde rij opleveren. En er zijn complexe getallen die bij de gegeven bewerkingen een onbegrensde rij opleveren: de uitkomsten worden steeds groter naarmate de bewerking meer wordt herhaald. Dit is onder meer het geval bij het bovenstaande voorbeeld van het getal ${\displaystyle 2+{\frac {1}{2}}i}$.

De mandelbrotverzameling bestaat uit alle getallen, die bij bovenstaande bewerkingen een begrensde rij blijken op te leveren. Hoe vaak de bewerking ook wordt herhaald, de uitkomsten blijven binnen bepaalde waarden. De gehele mandelbrotverzameling valt binnen de cirkel met straal 2 en het middelpunt in de oorsprong. De getallen die leiden tot een onbegrensde rij kunnen nog binnen deze cirkel liggen, maar vallen allemaal per definitie buiten de mandelbrotverzameling.

Een differentievergelijking in één complexe variabele komt overeen met twee differentievergelijkingen in twee reële variabelen.

Een punt dat tijdens het herhalen van de bewerkingen na verloop van tijd telkens opnieuw uitkomt bij dezelfde waarde(n) wordt een Misiurewicz-punt genoemd. Er liggen er binnen de mandelbrotverzameling oneindig veel van.

De mandelbrotverzameling wordt formeel gedefinieerd met behulp van de klasse complexe tweedegraadspolynomen:

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$

De verzameling bestaat uit de punten ${\displaystyle c}$ in het complexe vlak, waarvoor de rij

${\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots \ )\ =}$

${\displaystyle (0\ ,\ c,\ c^{2}+c\ ,\ (c^{2}+c)^{2}+c\ ,\ldots \ )}$

niet wegloopt naar oneindig.

Men onderzoekt de mandelbrotverzameling met behulp van de recursieve relatie:

${\displaystyle z_{0}=0}$

${\displaystyle z_{n+1}={z_{n}}^{2}+c}$

De rij kan als volgt worden uitgeschreven:

${\displaystyle c=a+bi}$

${\displaystyle z_{0}=0}$

${\displaystyle z_{1}=z_{0}^{2}+c=c=a+bi}$

${\displaystyle z_{2}=z_{1}^{2}+c=(a+bi)^{2}+a+bi=a^{2}-b^{2}+a+(2ab+b)i}$

${\displaystyle z_{3}=z_{2}^{2}+c=\ldots }$

enz.

Gesplitst in het reële- en imaginaire deel, respectievelijk de x- en y-coördinaten van het complexe vlak, met:

${\displaystyle z_{n}=x_{n}+y_{n}i}$

wordt dit:

${\displaystyle x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+a}$

en

${\displaystyle y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+b}$

De mandelbrotverzameling is een samenhangende verzameling en kan worden verdeeld in een oneindige verzameling van figuren: de grootste figuur in het centrum is een cardioïde. Er is een aftelbaar oneindig aantal bijna-cirkels, waarvan de diameter asymptotisch naar nul nadert. De enige volledige cirkel bevindt zich direct links van de cardioïde. Elk van de bijna-cirkels heeft op zijn beurt een eigen aftelbaar oneindig aantal kleinere cirkels om zich heen, die zich vanuit de cirkel vertakken. Deze vertakking zet zich oneindig voort, en aldus vormt zich een fractal.

Alle punten binnen deze fractal zijn aangrenzende punten, dit is een bewezen gegeven. Deze fractal is dus samenhangend ofwel gesloten, net als de juliafractals waaruit het object is opgebouwd.

Ingezoomd op een deel van de mandelbrotverzameling	Ingezoomd op een deel van de mandelbrotverzameling

• (en) R Penrose. The Emperor's New Mind, 1999. ISBN 0-19-851973-7, hoofdstuk 3
• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Mandelbrot set op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.