Kwadratisch geheel getal

Kwadratische gehele getallen zijn oplossingen van vergelijkingen van de vorm:

x² + Bx + C = 0

voor gehele getallen B en C. Deze oplossingen hebben de vorm a + ωb, waar a, b gehele getallen zijn, en waar ω wordt gedefinieerd als;

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(D is een kwadraatvrij geheel getal).

Deze karakterisering werd in 1871 als eerste door Richard Dedekind gegeven.[1][2] Kwadratische gehele getallen vormen een deelring van een kwadratisch veld ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}$, dat de kwadratische ring van gehele getallen wordt genoemd en dat wordt aangeduid door Z[ω]. Bovendien is Z[ω] de integrale afsluiting van Z in ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}$. In andere woorden het is de ring van de gehele getallen ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$ van ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}$ en dus een Dedekind-domein.

• Een klassiek voorbeeld is ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$, de gehele getallen van Gauss, die rond 1800 door Carl Friedrich Gauss in zijn formulering van de bikwadratische wederkerigheid[3] werden geïntroduceerd.
• De elementen in ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}})}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]}$ worden gehele getallen van Eisenstein genoemd.
• In tegenstelling hiermee is ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-3}}]}$ niet eens een Dedekind-domein.

Uitgerust met de norm

${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}}$,

is ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$ een Euclidisch domein (a fortiori, UFD) wanneer ${\displaystyle D=-1,-2,-3,-7,-11.}$[4] Aan de andere kan bleek dat ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ geen UFD is, omdat het een onherleidbaar element bevat dat geen priemelement is. Het getal 6 heeft bijvoorbeeld twee verschillende factorisaties in niet-reduceerbare getallen:

${\displaystyle 6=2(3)=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}$

In feite heeft ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ klassegetal 2.[5] Het falen van de unieke factorisatie spoorde Ernst Kummer en Richard Dedekind ertoe aan een theorie te ontwikkelen die de verzameling van "priemgetallen" zou uitbreiden; het resultaat was de notie van idealen en de decompositie van idealen door priemidealen.

Zijnde een Dedekind-domein, is een kwadratische ring van gehele getallen dan en slechts dan een uniek factorisatiedomein als het ook een hoofdideaaldomein is (dat wil zeggen dat haar klassegetal gelijk is aan 1). Er bestaan echter kwadratische ringen van gehele getallen die wel hoofdideaaldomeinen, maar die geen Euclidische domeinen zijn. De velduitbreiding ${\displaystyle \mathbf {Q} [{\sqrt {-19}}]}$ heeft bijvoorbeeld klassegetal 1, maar haar ring van gehele getallen is niet euclidisch.[5] Er bestaan effectieve methoden om ideale klassegroepen van kwadratische ringen van gehele getallen te berekenen, maar veel theoretische vragen over hun structuur staan na meer dan honderd jaar nog steeds open.

• Laatste stelling van Fermat
• Vergelijking van Pell

• (en) Nicolas Bourbaki, "Elements of the history of mathematics", Berlijn, Springer-Verlag, MR1290116, ISBN 978-3-540-64767-6, vanuit het Frans naar het Engels vertaald door John Meldrum
• (de) Dedekind, Richard, Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet, ed. 2, 1871, Vieweg.
• (en) Dummit, D. S. en Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3e ed.
• (en) J.S. Milne, Algebraïsche getaltheorie, Versie 3.01, 28 september, 2008. online lecture note