Algebra (ringtheorie)

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een algebra over een commutatieve ring een veralgemening van het concept van een algebra over een lichaam (Ned) / veld (Be), waarin het lichaam/veld K wordt vervangen door een commutatieve ring R.

In dit artikel wordt van alle ringen aangenomen dat zij unitair zijn.

Formele definitie

Laat R een commutatieve ring zijn. Een algebra is een R-moduul A, waarop een binaire operatie

[\cdot ,\cdot ]:A\times A\to A

gedefinieerd is, de A-vermenigvuldiging genaamd, die bilineair is. Dat houdt in dat voor alle scalairen $a,b\in R$ en alle elementen $x,y,z\in A$ geldt:

[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]

.

Associatieve algebra's

Als A een monoïde onder A-vermenigvuldiging is (het voldoet aan de eisen van associativiteit, identiteit en totaliteit), dan noemt men de R-algebra een associatieve algebra. Interessant genoeg vormt een associatieve algebra een ring over R en geeft hij veralgemening van een ring. Een equivalente definitie van een associatieve R-algebra is een ringhomomorfisme $f:R\to A$ , zodanig dat het beeld van f is opgenomen in het centrum van A

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.