Baan (groepentheorie)

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskundige algebra, is de baan gedefinieerd voor elk punt van een verzameling waarop een groep werkt. De baan bestaat uit de punten die door de elementen van de groep aan het punt worden toegevoegd. De groep trekt als het ware voor elk punt een baan in de verzameling.

Definitie

Laat $G$ een groep zijn die werkt op een verzameling $X$ . De baan $Gx$ van een punt $x\in X$ onder de groep $G$ is de deelverzameling van de beeldpunten van $x$ :

Gx=\{gx|g\in G\}

Uit de groepseigenschappen volgt dat de banen van de verschillende punten $x\in X$ een partitie van $X$ vormen. De bijbehorende equivalentierelatie wordt gedefinieerd door

x\sim y\Longleftrightarrow \exists g\in G:y=gx

.

Anders gezegd zijn twee punten equivalent als ze dezelfde baan hebben:

x\sim y\Longleftrightarrow Gy=Gx

.

Als de groepsactie transitief is, is er slechts een baan, d.w.z. voor alle punten $x\in X$ geldt: $Gx=X$ . Omgekeerd geldt ook dat als er slechts een baan is, de groepsactie transitief is. De verzameling banen wordt genoteerd als $X/G$ , het quotiënt van de groepsactie.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.